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ノート:「Q1. ポアソン分布とは」

2022/12/02に公開

https://algo-method.com/tasks/1171/editorial

上記問題では省略されている確率関数の近似について導出してみます。
すなわち

\begin{equation} \lim_{n\to\infty}{_n\text{C}_x p^x(1-p)^{n-x}} = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} \end{equation}

が正しいことを確認します。

ただし、問題文にならって

\begin{equation} \lambda = np \end{equation}

と定義します。


まず、

\begin{equation} _n\text{C}_x=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n^{\underline{k}}}{k!} \end{equation}

と変形できます。

また、(2)より

\begin{align} p^k&=\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k=\frac{\lambda^k}{n^k}\\ (1-p)^{n-k}&=\left(1- \frac{\lambda}{n-k} \right)^k \end{align}

と表せます。


ここで(5)を見ると、なんだか極限が求まりそうです。
まずはネイピア数の定義をヒントに、変形してみましょう。

\begin{aligned} \left(1- \frac{\lambda}{n} \right)^{n-k} &=\left(1- \frac{\lambda}{n} \right)^n \left(1- \frac{\lambda}{n} \right)^{-k} \\ \\ &=\left(1+ \frac{1}{-\frac{n}{\lambda}} \right)^{(-\frac{n}{\lambda}) \cdot -\lambda} \left(1- \frac{\lambda}{n} \right)^{-k} \end{aligned}

ここで、ネイピア数の定義から

\begin{equation} \lim_{n\to\infty}{ \left(1+ \frac{1}{-\frac{n}{\lambda}} \right)^{(-\frac{n}{\lambda}) \cdot -\lambda} }= e^{-\lambda} \\ \end{equation}

が成り立ちます。

一方で kn とは無関係なので

\begin{equation} \lim_{n\to\infty}\left(1- \frac{\lambda}{n} \right)^{-k} = 1 \end{equation}

がわかります。

よって、(6)(7) より

\begin{equation} \lim_{n\to\infty}\left(1- \frac{\lambda}{n} \right)^{n-k} = e^{-\lambda} \end{equation}

が成り立ちます。


残った (3)(4) に注目してみましょう。

(3) は分子に n^{\underline{k}} があり、(4)には分母に n^k があります。
もとの式ではこれらは掛け算されているので、n をうまく消し去ることができるかもしれません。

まず (3)(4) を掛けると

\begin{aligned} \frac{n^{\underline{k}}}{k!} \cdot \frac{\lambda^k}{n^k} &= \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \frac{n^{\underline{k}}}{n^k} \\ &=\frac{\lambda^k}{k!} \cdot \prod_{i=1}^{k}{\left( \frac{n - i + 1}{n} \right)} \\ &=\frac{\lambda^k}{k!} \cdot \prod_{i=1}^{k}{\left( {1 - \left( \frac{i + 1}{n} \right)} \right)} \end{aligned}

従って

\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}{\frac{n^{\underline{k}}}{k!} \cdot \frac{\lambda^k}{n^k} } &=\lim_{n\to\infty}{\frac{\lambda^k}{k!}\prod_{i=1}^{k}{\left( {1 - \left( \frac{i + 1}{n} \right)} \right)}} \\ &=\frac{\lambda^k}{k!}\prod_{i=1}^{k}{\left( {1 - 0} \right)} \\ &=\frac{\lambda^k}{k!} \cdot 1 \\ &=\frac{\lambda^k}{k!} \end{aligned}
\begin{equation} \therefore \lim_{n\to\infty}{\frac{n^{\underline{k}}}{k!} \cdot \frac{\lambda^k}{n^k} } = \frac{\lambda^k}{k!} \end{equation}

以上から、(8)(9) より

\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}{_n\text{C}_x p^x(1-p)^{n-x}} &= \lim_{n\to\infty}{\frac{n^{\underline{k}}}{k!} \frac{\lambda^k}{n^k} \left(1- \frac{\lambda}{n-k} \right)^k} \\ &= \lim_{n\to\infty}{\frac{\lambda^k}{k!} \frac{n^{\underline{k}}}{n^k} \left(1- \frac{\lambda}{n-k} \right)^k} \\ &= { \frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda} } \end{aligned}
\therefore \lim_{n\to\infty}{_n\text{C}_x p^x(1-p)^{n-x}} = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}

が成り立つので、(1)は正しいことが言えました。

Discussion