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線形ガウス状態空間モデル(1) - 線形ガウス状態空間モデルとは

2023/09/03に公開

線形ガウス状態空間モデル

以下の式で表される状態空間モデルを線形ガウス状態空間モデルと呼ぶ。

\begin{equation} \begin{aligned} x_t &= T_t x_{t-1} + R_t \xi_t,\quad &\xi_t \sim N(0, Q_t) \\ y_t &= Z_t x_t + \epsilon_t, \quad &\epsilon_t \sim N(0, H_t) \end{aligned} \end{equation}

線形ガウス状態空間モデルは、状態も観測値も正規分布（ガウス分布） に従うことを仮定するモデルである。

実際に、 $y_t$ の期待値を計算すると、

\overline{y_t} = Z_t \overline{x_t}

なので、 $y_t$ は以下のようにガウス分布（正規分布）に従うことがわかる。

y_t \sim N(Z_t \overline{x_t}, H_t)

線形ガウス状態空間モデルは、状態方程式・観測方程式の形によって、特定の名前がついているものがある。

また、基本構造時系列モデルも線形ガウス状態空間モデルの枠組みで扱うことが可能である。