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[ABC261F] Sorting Color Balls を Pythonで解く

2022/07/25に公開約2,500字

https://atcoder.jp/contests/abc261/tasks/abc261_f

考え方

転倒数の問題です。ボールの数字が昇順となるように、並び替えるときの交換回数を求める問題です。ボールを並び替えたときの線の交点を数えれば良いですが、ボールの色が同じときは、数えないため、下図の赤交点のみカウントして、青交点はカウントしません。

まずは、色がない場合で考えてみます。

これは、ボールの数字を左から順番に見ていった場合に、既に見た数の中で、今の数よりも大きいものを数えて合計すれば良いです。

あとは、「ボールの色が同じ場合はカウントしない」という条件を加えれば良いです。計算量を考えなければ、下記で正しい出力は得られます。

# これだとTLEになる
N = int(input())
C = list(map(int,input().split()))
X = list(map(int,input().split()))
ans = 0
for i in range(N):
    for j in range(i):
        if C[j] == C[i]:
            continue
        if X[j] > X[i]:
            ans += 1
print(ans)

この実装が、TLE(Time Limit Exceeded) となってしまうのは、既に見た数の中から、今の数よりも大きいものを探すという操作で、愚直に線形探索をしているからです。セグメント木やフェニック木などを用いて、区間データに数字をカウントしていけば、計算量を減らすことができます。

実装メモ

セグメント木を用います。
色を考えない場合を求めてから、各色ごとに交点(転倒数)を求めて減算すれば良いです。

from collections import defaultdict
N = int(input())
C = list(map(int,input().split()))
X = list(map(int,input().split()))

def f(x,y):
    return x+y

def update(X,Y):
    X += Leaf
    D[X] = f(D[X],Y)
    X >>= 1
    while X > 0:
        D[X] = f(D[X*2], D[X*2+1])
        X >>= 1
        
def query(L,R):
    L += Leaf; R += Leaf
    ret = 0
    while L < R:
        if L % 2 == 1:
            ret = f(ret, D[L])
            L += 1
        if R % 2 == 1:
            R -= 1
            ret = f(ret, D[R])
        L >>= 1; R >>= 1
    return ret

色を考えない場合の転倒数を求めながら、色ごとのグループを調べておきます。

ColorGroup = defaultdict(list)
ans = 0
Leaf = 1 << N.bit_length()
D = [0] * Leaf * 2
for i in range(N):
    ColorGroup[C[i]].append(X[i])
    ans += i - query(0, X[i]+1)
    update(X[i],1)

セグメント木を初期化して、各色ごとの交点(転倒数)を求めます。1つの色(グループ)を見終わったら、セグメント木のデータを巻き戻して初期化します。

D = [0]*Leaf*2
for lis in ColorGroup.values():
    for i in range(len(lis)):
        ans -= i - query(0,lis[i]+1)
        update(lis[i],1)
    
    for i in range(len(lis)):
        update(lis[i],-1)
print(ans)

考察

色ごとの初期化操作のときに、

D = [0]*Leaf*2

としてもセグメント木のデータは初期化されますが、リストの定義に計算時間がかかるようです。
最後の部分を下記のようにすると、TLEとなりました。

# これだとTLEとなった
for lis in ColorGroup.values():
    D = [0]*Leaf*2
    for i in range(len(lis)):
        ans -= i - query(0,lis[i]+1)
        update(lis[i],1)

Discussion

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