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フィレットを考慮したH形鋼の断面係数Zxの計算

2024/08/07に公開

Python

算定式の確認

下記URLにフィレット部の断面二次モーメントと図芯位置の算定方法が記載されている。

フィレットを考慮しない断面二次モーメントの計算式は以下になる。

# フィレットを考慮しない強軸I
I0 = (B*t2**3)/6 + (B*(H-t2)**2*t2)/2 + (t1*(H-2*t2)**3)/12

H: H形鋼高さ, B: H形鋼幅, t1: H形鋼ウェブ厚, t2: H形鋼フランジ厚, r: フィレット半径

フィレットを考慮しない断面二次モーメントにフィレット部分の断面二次モーメントを足すが、ここで、平行軸の定理を使う。平行軸の定理には全体の図芯とフィレット部の図芯のずれの情報が必要になる。

# 1/4フィレットの図芯に対するI
I_filet0 = (8 - 3*pi)*r**4/96 + (3*pi - 8)**2*(pi - 1)*r**4/(9*pi*(4 - pi)**2)
# 1/4フィレット図芯と全体の図芯の距離
d_filet = (H - 2*t2 - 2*r)/2 + 2*r/(3*(4 - pi))

PythonによるZxの確認

以下に計算確認用スクリプトを示す。「フィレットを考慮するZ」の値が鋼材表の数値と対応することを確認した。

import numpy as np
import re
pi = np.pi

text = "SH-600*300*12*19*13"
elements = re.split(r'[-*]', text)
H = float(elements[1])
B = float(elements[2])
t1 = float(elements[3])
t2 = float(elements[4])
r = float(elements[5])

# フランジ + ウェブ + フィレット
A = H*t2*2 + (H-t2*2)*t1 + ((2*r)**2 - pi*r**2)

# フィレットを考慮しない強軸I
I0 = (B*t2**3)/6 + (B*(H-t2)**2*t2)/2 + (t1*(H-2*t2)**3)/12

# 1/4フィレットの断面積
A_filet = ((2*r)**2 - pi*r**2)/4
# 1/4フィレットの図芯に対するI
I_filet0 = (8 - 3*pi)*r**4/96 + (3*pi - 8)**2*(pi - 1)*r**4/(9*pi*(4 - pi)**2)
# 1/4フィレット図芯と全体の図芯の距離
d_filet = (H - 2*t2 - 2*r)/2 + 2*r/(3*(4 - pi))

# 1/4フィレットのH形鋼図芯に対するI
I_filet = I_filet0 + A_filet*d_filet**2
I1 = I0 + I_filet*4 # フィレットを考慮したI
Z1 = 2*I1/H*10**-3 # フィレットを考慮したZ 単位:cm3

# 塑性断面係数 厚肉I形 JFE 鋼構造設計便覧 単位:cm3
Z1_1 = (B*t2*(H - t2) + 1/4*(H - 2*t2)**2*t1 + 0.4292*r**2*(H - 2*t2 - 0.4467*r))*10**-3
# 塑性断面係数 薄肉I形 JFE 鋼構造設計便覧 単位:cm3
Z1_2 = ((t2*B)*(H-t2) + 1/4*(t1*(H - 2*t2))*(H-t2))*10**-3

print(f"""
フィレットを考慮したA: {A:.0f} mm2
1/4フィレットの断面積: {A_filet:.0f} mm2
1/4フィレットの図芯に対するI: {I_filet0:.0f} mm4
1/4フィレット図芯と全体の図芯の距離: {d_filet:.1f} mm
1/4フィレットのH形鋼図芯に対するI:  {I_filet:.0f} mm4
フィレットを考慮しないI: {I0:.0f} mm4
フィレットを考慮　するI: {I1:.0f} mm4
フィレットを考慮するZ: {Z1:.0f} cm3 # 鋼材表の数値と対応
塑性断面係数 厚肉I形: {Z1_1:.0f} cm3 # JFE 鋼構造設計便覧
塑性断面係数 薄肉I形: {Z1_2:.0f} cm3 # JFE 鋼構造設計便覧
""")
"""
フィレットを考慮したA: 18289 mm2
1/4フィレットの断面積: 36 mm2
1/4フィレットの図芯に対するI: 5536 mm4
1/4フィレット図芯と全体の図芯の距離: 278.1 mm
1/4フィレットのH形鋼図芯に対するI:  2810390 mm4
フィレットを考慮しないI: 1139896128 mm4
フィレットを考慮　するI: 1151137688 mm4
フィレットを考慮するZ: 3837 cm3 # 鋼材表の数値と対応
塑性断面係数 厚肉I形: 4300 cm3 # JFE 鋼構造設計便覧
塑性断面係数 薄肉I形: 4291 cm3 # JFE 鋼構造設計便覧
"""

上記スクリプトよりフィレット考慮前の計算部分などを短縮すると、以下のように書き換えられる。

import numpy as np
import re
pi = np.pi

text = "SH-600*300*12*19*13"
elements = re.split(r'[-*]', text)
H = float(elements[1])
B = float(elements[2])
t1 = float(elements[3])
t2 = float(elements[4])
r = float(elements[5])

A = B*t2*2 + (H-t2*2)*t1 + ((2*r)**2 - pi*r**2)
I1 = (((B*t2**3)/6 + (B*(H-t2)**2*t2)/2 + (t1*(H-2*t2)**3)/12) + (((8 - 3*pi)*r**4/96 + (3*pi - 8)**2*(pi - 1)*r**4/(9*pi*(4 - pi)**2)) + (((2*r)**2 - pi*r**2)/4)*((H - 2*t2 - 2*r)/2 + 2*r/(3*(4 - pi)))**2)*4)
Z1 = 2*(((B*t2**3)/6 + (B*(H-t2)**2*t2)/2 + (t1*(H-2*t2)**3)/12) + (((8 - 3*pi)*r**4/96 + (3*pi - 8)**2*(pi - 1)*r**4/(9*pi*(4 - pi)**2)) + (((2*r)**2 - pi*r**2)/4)*((H - 2*t2 - 2*r)/2 + 2*r/(3*(4 - pi)))**2)*4)/H*10**-3
Z1_1 = (B*t2*(H - t2) + 1/4*(H - 2*t2)**2*t1 + 0.4292*r**2*(H - 2*t2 - 0.4467*r))*10**-3
Z1_2 = ((t2*B)*(H-t2) + 1/4*(t1*(H - 2*t2))*(H-t2))*10**-3

print(f"""
フィレットを考慮したA: {A:.0f} mm2
フィレットを考慮するI: {I1:.0f} cm4
フィレットを考慮するZ: {Z1:.0f} cm3 # 鋼材表の数値と対応
塑性断面係数 厚肉I形: {Z1_1:.0f} cm3 # JFE 鋼構造設計便覧
塑性断面係数 薄肉I形: {Z1_2:.0f} cm3 # JFE 鋼構造設計便覧
""")

"""
フィレットを考慮したA: 18289 mm2
フィレットを考慮するI: 1151137688 cm4
フィレットを考慮するZ: 3837 cm3 # 鋼材表の数値と対応
塑性断面係数 厚肉I形: 4300 cm3 # JFE 鋼構造設計便覧
塑性断面係数 薄肉I形: 4291 cm3 # JFE 鋼構造設計便覧
"""

ExcelによるZxの確認

エクセルで上記計算をして確認したい。Pythonでエクセルを書き換える方法もあるが、
今回は上記スクリプトを参考にエクセルのセルに記述する関数を作成する。
Python中の変数を以下のルールで書き換えることにする。
** → ^
H → A2
B → B2
t1 → C2
t2 → D2
r →　E2
pi → PI()

def custom_replace(s):
    # 置換パターンを定義
    replacements = {
        '**': '^',
        'H': 'A2',
        'B': 'B2',
        't1': 'C2',
        't2': 'D2',
        'r': 'E2',
        'pi': 'PI()',
        ' ':''
    }

    # 置換の優先順位を考慮して、長い文字列から順に置換
    for old, new in sorted(replacements.items(), key=lambda x: -len(x[0])):
        s = re.sub(re.escape(old), new, s)
    
    return s

s="""
A = B*t2*2 + (H-t2*2)*t1 + ((2*r)**2 - pi*r**2)
I1 = (((B*t2**3)/6 + (B*(H-t2)**2*t2)/2 + (t1*(H-2*t2)**3)/12) + (((8 - 3*pi)*r**4/96 + (3*pi - 8)**2*(pi - 1)*r**4/(9*pi*(4 - pi)**2)) + (((2*r)**2 - pi*r**2)/4)*((H - 2*t2 - 2*r)/2 + 2*r/(3*(4 - pi)))**2)*4)
Z1 = 2*(((B*t2**3)/6 + (B*(H-t2)**2*t2)/2 + (t1*(H-2*t2)**3)/12) + (((8 - 3*pi)*r**4/96 + (3*pi - 8)**2*(pi - 1)*r**4/(9*pi*(4 - pi)**2)) + (((2*r)**2 - pi*r**2)/4)*((H - 2*t2 - 2*r)/2 + 2*r/(3*(4 - pi)))**2)*4)/H*10**-3
Z1_1 = (B*t2*(H - t2) + 1/4*(H - 2*t2)**2*t1 + 0.4292*r**2*(H - 2*t2 - 0.4467*r))*10**-3
Z1_2 = ((t2*B)*(H-t2) + 1/4*(t1*(H - 2*t2))*(H-t2))*10**-3
"""

s1 = custom_replace(s)
print(s1)
"""
A=B2*D2*2+(A2-D2*2)*C2+((2*E2)^2-PI()*E2^2)
I1=(((B2*D2^3)/6+(B2*(A2-D2)^2*D2)/2+(C2*(A2-2*D2)^3)/12)+(((8-3*PI())*E2^4/96+(3*PI()-8)^2*(PI()-1)*E2^4/(9*PI()*(4-PI())^2))+(((2*E2)^2-PI()*E2^2)/4)*((A2-2*D2-2*E2)/2+2*E2/(3*(4-PI())))^2)*4)
Z1=2*(((B2*D2^3)/6+(B2*(A2-D2)^2*D2)/2+(C2*(A2-2*D2)^3)/12)+(((8-3*PI())*E2^4/96+(3*PI()-8)^2*(PI()-1)*E2^4/(9*PI()*(4-PI())^2))+(((2*E2)^2-PI()*E2^2)/4)*((A2-2*D2-2*E2)/2+2*E2/(3*(4-PI())))^2)*4)/A2*10^-3
Z1_1=(B2*D2*(A2-D2)+1/4*(A2-2*D2)^2*C2+0.4292*E2^2*(A2-2*D2-0.4467*E2))*10^-3
Z1_2=((D2*B2)*(A2-D2)+1/4*(C2*(A2-2*D2))*(A2-D2))*10^-3
"""

本操作により、2行目に記載されているH形鋼データからIおよびZを計算する計算式（セルに入力）を作成できた。エクセルのセルに入力した関数をJFE 鋼構造設計便覧に記載されている数値を比較した結果を以下に示す。(計算)は上記計算式を適用した結果であり、（JIS/計算）は鋼材表記載の数値を計算値で除したものである。（JIS/計算）は全て1.00となっており、計算値の精度が高いことを証明した。

H,B ,t1,t2,r,A-cm2,Ix-cm4,Zx-cm3,Zpx-cm3,(計算)A-cm2,(計算)Ix-cm4,(計算)Zx-cm3,(計算)Zpx-cm3,(JIS/計算),(JIS/計算),(JIS/計算),(JIS/計算),広中細,呼称
100,100,6,8,8,21.59,378,75.6,86.4,21.59,378,75.7,86.4,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,100×100
125,125,6.5,9,8,30.00,839,134,152,30.00,840,134,152,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,125×125
150,150,7,10,8,39.65,1620,216,243,39.65,1623,216,243,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,150×150
175,175,7.5,11,13,51.43,2900,331,370,51.43,2897,331,370,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,175×175
200,200,8,12,13,63.53,4720,472,525,63.53,4718,472,525,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,200×200
200,204,12,12,13,71.53,4980,498,565,71.53,4984,498,565,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,200×200
208,202,10,16,13,83.69,6530,628,710,83.69,6533,628,710,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,200×200
244,252,11,11,13,81.31,8700,713,797,81.31,8705,714,797,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,250×250
248,249,8,13,13,83.95,9850,794,875,83.95,9848,794,875,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,250×250
250,250,9,14,13,91.43,10700,860,953,91.43,10751,860,953,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,250×250
250,255,14,14,13,103.90,11400,912,1030,103.93,11402,912,1031,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,250×250
294,302,12,12,13,106.30,16600,1130,1260,106.33,16642,1132,1260,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,300×300
298,299,9,14,13,109.50,18600,1250,1370,109.47,18627,1250,1372,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,300×300
300,300,10,15,13,118.50,20200,1350,1480,118.45,20188,1346,1484,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,300×300
300,305,15,15,13,133.50,21300,1420,1600,133.45,21313,1421,1596,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,300×300
304,301,11,17,13,133.50,23200,1520,1690,133.49,23158,1524,1688,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,300×300
338,351,13,13,13,133.30,27700,1640,1820,133.27,27744,1642,1822,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,350×350
344,348,10,16,13,144.00,32800,1910,2090,144.01,32848,1910,2092,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,350×350
344,354,16,16,13,164.70,34900,2030,2270,164.65,34884,2028,2269,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,350×350
350,350,12,19,13,171.90,39800,2280,2520,171.89,39848,2277,2515,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,350×350
350,357,19,19,13,196.40,42300,2420,2730,196.39,42349,2420,2730,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,350×350
356,352,14,22,13,200.00,47100,2650,2950,200.01,47143,2648,2949,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,350×350
388,402,15,15,22,178.50,49000,2520,2800,178.45,48983,2525,2802,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,400×400
394,398,11,18,22,186.80,56100,2850,3120,186.81,56163,2851,3118,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,400×400
394,405,18,18,22,214.40,59700,3030,3390,214.39,59731,3032,3390,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,400×400
400,400,13,21,22,218.70,66600,3330,3670,218.69,66639,3332,3672,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,400×400
400,408,21,21,22,250.70,70900,3540,3990,250.69,70906,3545,3992,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,400×400
406,403,16,24,22,254.90,78000,3840,4280,254.87,78057,3845,4280,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,400×400
414,405,18,28,22,295.40,92800,4480,5030,295.39,92789,4483,5026,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,400×400
428,407,20,35,22,360.70,119000,5570,6310,360.65,119222,5571,6311,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,400×400
458,417,30,50,22,528.60,187000,8170,9540,528.55,187155,8173,9540,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,400×400
498,432,45,70,22,770.10,298000,12000,14500,770.05,297927,11965,14457,1.00,1.00,1.00,1.00,広幅,400×400
148,100,6,9,8,26.35,1000,135,154,26.35,1003,136,154,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,150×100
194,150,6,9,8,38.11,2630,271,301,38.11,2626,271,301,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,200×150
244,175,7,11,13,55.49,6040,495,550,55.49,6039,495,550,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,250×175
294,200,8,12,13,71.05,11100,756,842,71.05,11116,756,842,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,300×200
298,201,9,14,13,82.03,13100,878,982,82.03,13089,878,982,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,300×200
336,249,8,12,13,86.17,18100,1070,1190,86.17,18058,1075,1185,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,350×250
340,250,9,14,13,99.53,21200,1250,1380,99.53,21230,1249,1382,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,350×250
386,299,9,14,13,117.40,32900,1700,1870,117.39,32871,1703,1871,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,400×300
390,300,10,16,13,133.30,37900,1940,2140,133.25,37866,1942,2141,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,400×300
434,299,10,15,13,131.60,45500,2090,2320,131.55,45459,2095,2316,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,450×300
440,300,11,18,13,153.90,54700,2490,2760,153.89,54734,2488,2757,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,450×300
446,302,13,21,13,180.80,65000,2920,3250,180.81,65043,2917,3255,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,450×300
482,300,11,15,13,141.20,58300,2420,2700,141.17,58276,2418,2696,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,500×300
488,300,11,18,13,159.20,68900,2820,3130,159.17,68861,2822,3132,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,500×300
494,302,13,21,13,187.10,81700,3310,3700,187.05,81719,3308,3696,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,500×300
582,300,12,17,13,169.20,98900,3400,3820,169.21,98952,3400,3822,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,600×300
588,300,12,20,13,187.20,114000,3890,4350,187.21,114352,3890,4348,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,600×300
594,302,14,23,13,217.10,134000,4500,5060,217.09,133563,4497,5057,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,600×300
692,300,13,20,18,207.50,168000,4870,5500,207.54,168433,4868,5503,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,700×300
700,300,13,24,18,231.50,197000,5640,6340,231.54,197498,5643,6338,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,700×300
708,302,15,28,18,269.70,233000,6590,7430,269.70,233151,6586,7434,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,700×300
792,300,14,22,18,239.50,248000,6270,7140,239.50,248352,6272,7143,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,800×300
800,300,14,26,18,263.50,286000,7160,8100,263.50,286369,7159,8098,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,800×300
808,302,16,30,18,303.70,334000,8270,9390,303.66,333946,8266,9390,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,800×300
816,303,17,34,18,336.00,378000,9270,10500,335.98,378299,9272,10537,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,800×300
890,299,15,23,18,266.90,339000,7610,8750,266.92,338547,7608,8750,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,900×300
900,300,16,28,18,305.80,404000,8990,10300,305.82,404500,8989,10290,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,900×300
912,302,18,34,18,360.10,491000,10800,12300,360.06,491019,10768,12337,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,900×300
918,303,19,37,18,387.40,535000,11700,13400,387.36,535392,11664,13377,1.00,1.00,1.00,1.00,中幅,900×300
150,75,5,7,8,17.85,666,88.8,102,17.85,666,89,102,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,150×75
175,90,5,8,8,22.90,1210,138,156,22.90,1206,138,156,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,175×90
198,99,4.5,7,8,22.69,1540,156,175,22.69,1543,156,175,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,200×100
200,100,5.5,8,8,26.67,1810,181,205,26.67,1806,181,205,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,200×100
248,124,5,8,8,31.99,3450,278,312,31.99,3450,278,312,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,250×125
250,125,6,9,8,36.97,3960,317,358,36.97,3965,317,358,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,250×125
298,149,5.5,8,13,40.80,6320,424,475,40.80,6320,424,475,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,300×150
300,150,6.5,9,13,46.78,7210,481,542,46.78,7211,481,542,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,300×150
346,174,6,9,13,52.45,11000,638,712,52.45,11038,638,712,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,350×175
350,175,7,11,13,62.91,13500,771,864,62.91,13502,772,864,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,350×175
354,176,8,13,13,73.45,16000,906,1020,73.45,16040,906,1019,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,350×175
396,199,7,11,13,71.41,19800,999,1110,71.41,19773,999,1114,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,400×200
400,200,8,13,13,83.37,23500,1170,1310,83.37,23459,1173,1313,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,400×200
404,201,9,15,13,95.41,27200,1350,1510,95.41,27240,1349,1514,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,400×200
446,199,8,12,13,82.97,28100,1260,1420,82.97,28136,1262,1423,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,450×200
450,200,9,14,13,95.43,23900,1460,1650,95.43,32889,1462,1652,1.00,0.73,1.00,1.00,細幅,450×200
456,201,10,17,13,112.00,39800,1750,1980,111.99,39836,1747,1975,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,450×200
496,199,9,14,13,99.29,40800,1650,1870,99.29,40837,1647,1869,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,500×200
500,200,10,16,13,112.30,46800,1870,2130,112.25,46814,1873,2130,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,500×200
506,201,11,19,13,129.30,55500,2190,2500,129.31,55483,2193,2496,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,500×200
596,199,10,15,13,117.80,66600,2240,2580,117.75,66643,2236,2576,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,600×200
600,200,11,17,13,131.70,75600,2520,2900,131.71,75559,2519,2904,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,600×200
606,201,12,20,13,149.80,88300,2910,3360,149.77,88322,2915,3357,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,600×200
612,202,13,23,13,168.00,101000,3310,3820,167.95,101414,3314,3818,1.00,1.00,1.00,1.00,細幅,600×200

算定式の確認

PythonによるZxの確認

ExcelによるZxの確認

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