flex で残り全部の高さを指定して、はみ出たら要素の中でスクロールする

こうすれば良いです。
https://kunic-web.com/frontend/css/204/

Next.js + tailwindcss で書いてみる

<div className="flex flex-col h-screen">
  <div className="h-4">ここに何かヘッダーを入れる。</div>
  <div className="relative flex grow">
    <div className="absolute h-full overflow-y-scroll">
      ここにあふれそうなものを置く。
    </div>
  </div>
</div>