ポアソン到着の微分方程式

待ち行列で用いられる記号$Pn(t)P_n(t)$は時刻$tt$において待ち行列の長さが$nn$である確立を意味している．この記事ではポアソン到着における微分方程式を導く．(この記事の中で$λ\lambda$は単位時間あたりに到着する人数の平均)

繰り返しになるが,$Pn(t+Δt)P_n(t+\Delta t)$は時刻$t+Δtt+{\Delta t}$において待ち行列の長さが$nn$である確立を意味していることになる．時刻$tt$からその状態に遷移するための方法は二つ存在する．

• 時刻$tt$に待ち行列の長さが$n−1n-1$で,$Δt\Delta t$の間に待ち行列の長さが1増える場合

時刻$tt$に待ち行列の長さが$n−1n-1$である確立は$Pn−1(t)P_{n-1}(t)$である．また，$Δt\Delta t$の間に待ち行列の長さが1増える確率は，$λΔt\lambda\Delta t$である．よって時刻$tt$に待ち行列の長さが$n−1n-1$で,$Δt\Delta t$の間に待ち行列の長さが1増える確率は

$$Pn−1(t)λΔt P_{n-1}(t)\lambda \Delta t$$

と表される

• 時刻$tt$に待ち行列の長さが$nn$で，$Δt\Delta t$の間に何も起こらない場合

  時刻$tt$に待ち行列の長さが$nn$である確立は$Pn(t)P_n(t)$である．また，$Δt\Delta t$の間に待ち行列の長さが1増えない確率は$1−λΔt1-\lambda\Delta t$である．よって時刻$tt$に待ち行列の長さが$n−1n-1$で，$Δt\Delta t$の間に待ち行列の長さが1増えない確率は

  $$Pn(t)(1−λΔt) P_n (t)(1-\lambda \Delta t)$$

  と表される．

よって，

$$Pn(t+Δt)=Pn−1(t)λΔt+Pn(t)(1−λΔt) P_n(t+\Delta t)=P_{n-1}(t)\lambda \Delta t+P_n (t)(1-\lambda \Delta t)$$

といえる．

この式をさらに式変形して，

$$Pn(t+Δt)=Pn(t)+Δt(Pn−1(t)−λPn(t))Pn(t+Δt)Δt=Pn−1(t)−λPn(t) P_n{(t+\Delta t)}=P_n (t)+\Delta t(P_{n-1}(t)-\lambda P_n(t))\\ \frac{P_n{(t+\Delta t)}}{\Delta t}=P_{n-1}(t)-\lambda P_n(t)\\$$

ここで$Δt→0\Delta t \rightarrow0$とすると，

$$ddtPn(t)=Pn−1(t)−λPn(t) \frac{d}{dt}P_n (t)=P_{n-1}(t)-\lambda P_n(t)\\$$

これでポアソン到着における微分方程式を導くことができた．