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ポアソン到着の微分方程式

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待ち行列で用いられる記号P_n(t)は時刻tにおいて待ち行列の長さがnである確立を意味している.この記事ではポアソン到着における微分方程式を導く.(この記事の中で\lambdaは単位時間あたりに到着する人数の平均)

繰り返しになるが,P_n(t+\Delta t)は時刻t+{\Delta t}において待ち行列の長さがnである確立を意味していることになる.時刻tからその状態に遷移するための方法は二つ存在する.

  • 時刻tに待ち行列の長さがn-1で,\Delta tの間に待ち行列の長さが1増える場合

時刻tに待ち行列の長さがn-1である確立はP_{n-1}(t)である.また,\Delta tの間に待ち行列の長さが1増える確率は,\lambda\Delta tである.よって時刻tに待ち行列の長さがn-1で,\Delta tの間に待ち行列の長さが1増える確率は

P_{n-1}(t)\lambda \Delta t

と表される

  • 時刻tに待ち行列の長さがnで,\Delta tの間に何も起こらない場合

    時刻tに待ち行列の長さがnである確立はP_n(t)である.また,\Delta tの間に待ち行列の長さが1増えない確率は1-\lambda\Delta tである.よって時刻tに待ち行列の長さがn-1で,\Delta tの間に待ち行列の長さが1増えない確率は

    P_n (t)(1-\lambda \Delta t)

    と表される.

よって,

P_n(t+\Delta t)=P_{n-1}(t)\lambda \Delta t+P_n (t)(1-\lambda \Delta t)

といえる.

この式をさらに式変形して,

P_n{(t+\Delta t)}=P_n (t)+\Delta t(P_{n-1}(t)-\lambda P_n(t))\\ \frac{P_n{(t+\Delta t)}}{\Delta t}=P_{n-1}(t)-\lambda P_n(t)\\

ここで\Delta t \rightarrow0とすると,

\frac{d}{dt}P_n (t)=P_{n-1}(t)-\lambda P_n(t)\\

これでポアソン到着における微分方程式を導くことができた.

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