ポアソン到着の微分方程式

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待ち行列で用いられる記号Pn(t)P_n(t)は時刻ttにおいて待ち行列の長さがnnである確立を意味している.この記事ではポアソン到着における微分方程式を導く.(この記事の中でλ\lambdaは単位時間あたりに到着する人数の平均)

繰り返しになるが,Pn(t+Δt)P_n(t+\Delta t)は時刻t+Δtt+{\Delta t}において待ち行列の長さがnnである確立を意味していることになる.時刻ttからその状態に遷移するための方法は二つ存在する.

  • 時刻ttに待ち行列の長さがn1n-1で,Δt\Delta tの間に待ち行列の長さが1増える場合

時刻ttに待ち行列の長さがn1n-1である確立はPn1(t)P_{n-1}(t)である.また,Δt\Delta tの間に待ち行列の長さが1増える確率は,λΔt\lambda\Delta tである.よって時刻ttに待ち行列の長さがn1n-1で,Δt\Delta tの間に待ち行列の長さが1増える確率は

Pn1(t)λΔt P_{n-1}(t)\lambda \Delta t

と表される

  • 時刻ttに待ち行列の長さがnnで,Δt\Delta tの間に何も起こらない場合

    時刻ttに待ち行列の長さがnnである確立はPn(t)P_n(t)である.また,Δt\Delta tの間に待ち行列の長さが1増えない確率は1λΔt1-\lambda\Delta tである.よって時刻ttに待ち行列の長さがn1n-1で,Δt\Delta tの間に待ち行列の長さが1増えない確率は

    Pn(t)(1λΔt) P_n (t)(1-\lambda \Delta t)

    と表される.

よって,

Pn(t+Δt)=Pn1(t)λΔt+Pn(t)(1λΔt) P_n(t+\Delta t)=P_{n-1}(t)\lambda \Delta t+P_n (t)(1-\lambda \Delta t)

といえる.

この式をさらに式変形して,

Pn(t+Δt)=Pn(t)+Δt(Pn1(t)λPn(t))Pn(t+Δt)Δt=Pn1(t)λPn(t) P_n{(t+\Delta t)}=P_n (t)+\Delta t(P_{n-1}(t)-\lambda P_n(t))\\ \frac{P_n{(t+\Delta t)}}{\Delta t}=P_{n-1}(t)-\lambda P_n(t)\\

ここでΔt0\Delta t \rightarrow0とすると,

ddtPn(t)=Pn1(t)λPn(t) \frac{d}{dt}P_n (t)=P_{n-1}(t)-\lambda P_n(t)\\

これでポアソン到着における微分方程式を導くことができた.