ポアソン到着の微分方程式

待ち行列で用いられる記号$P_n(t)$は時刻$t$において待ち行列の長さが$n$である確立を意味している．この記事ではポアソン到着における微分方程式を導く．(この記事の中で$\lambda$は単位時間あたりに到着する人数の平均)

繰り返しになるが,$P_n(t+\Delta t)$は時刻$t+{\Delta t}$において待ち行列の長さが$n$である確立を意味していることになる．時刻$t$からその状態に遷移するための方法は二つ存在する．

• 時刻$t$に待ち行列の長さが$n-1$で,$\Delta t$の間に待ち行列の長さが1増える場合

時刻$t$に待ち行列の長さが$n-1$である確立は$P_{n-1}(t)$である．また，$\Delta t$の間に待ち行列の長さが1増える確率は，$\lambda\Delta t$である．よって時刻$t$に待ち行列の長さが$n-1$で,$\Delta t$の間に待ち行列の長さが1増える確率は

$$P_{n-1}(t)\lambda \Delta t$$

と表される

• 時刻$t$に待ち行列の長さが$n$で，$\Delta t$の間に何も起こらない場合

  時刻$t$に待ち行列の長さが$n$である確立は$P_n(t)$である．また，$\Delta t$の間に待ち行列の長さが1増えない確率は$1-\lambda\Delta t$である．よって時刻$t$に待ち行列の長さが$n-1$で，$\Delta t$の間に待ち行列の長さが1増えない確率は

  $$P_n (t)(1-\lambda \Delta t)$$

  と表される．

よって，

$$P_n(t+\Delta t)=P_{n-1}(t)\lambda \Delta t+P_n (t)(1-\lambda \Delta t)$$

といえる．

この式をさらに式変形して，

$$P_n{(t+\Delta t)}=P_n (t)+\Delta t(P_{n-1}(t)-\lambda P_n(t))\\ \frac{P_n{(t+\Delta t)}}{\Delta t}=P_{n-1}(t)-\lambda P_n(t)\\$$

ここで$\Delta t \rightarrow0$とすると，

$$\frac{d}{dt}P_n (t)=P_{n-1}(t)-\lambda P_n(t)\\$$

これでポアソン到着における微分方程式を導くことができた．