📐

M/M/1型待ち行列の微分方程式

2 min read

この記事では時刻tにシステム内にn人いる確立をP_n(t),単位時間あたりに到着する人数の平均を\lambda,サービスを受ける人数を\muとした時の微分方程式を導く.

この待ち行列には以下の3つの確率が絡んでくる.

時刻tn人並んでいる確立 \Delta tの間に客が来る確立 \Delta tの間にサービスが終わる確立
P_t(n) \lambda \Delta t \mu \Delta t

時刻t+\Delta tにおいて待ち行列の長さがnである確立P_n({t+\Delta t})は4つの状態から遷移し起こりうる.

時刻tでn-1人並んでいて,その後1人並びサービスが1人終わらない場合

\Delta tの間にサービスが終わらない確率は(1-\mu\Delta t)と表される.

P_{n-1}(t)\lambda \Delta t (1-\mu \Delta t)

時刻tでn人並んでいて,その後1人並び1人サービスが1人終了する場合

P_n(t)\lambda \Delta t \mu \Delta t

時刻tでn人並んでいて,その後誰も来ずサービスが1人も終わらない場合

P_n(t)(1-\lambda \Delta t) (1-\mu \Delta t)

時刻tでn+1人並んでいて,その後誰も来ずサービスが1人終了する場合

P_{n+1}(t)(1-\lambda \Delta t)\mu \Delta t

以上より,

P_n(t+\Delta t)=P_{n-1}(t)\lambda \Delta t (1-\mu \Delta t)+P_n(t)\lambda \Delta t \mu \Delta t+P_n(t)(1-\lambda \Delta t) (1-\mu \Delta t)+P_{n+1}(t)(1-\lambda \Delta t)\mu \Delta t

といえる.これをさらに式変形する.具体的には\Delta t \rightarrow 0としたときに誤差項として扱う(\Delta t)^2を含むものと\Delta tを含むもの,そうでないものに分け,微分の定義の形となるようにしている.式変形の便宜上(\Delta t)^2を含むものも計算しているが,実際に計算を行う場合は\Delta t \rightarrow0とすると消えるので計算しなくとも良い.

\begin{aligned} P_n(t+\Delta t)=P_{n-1}(t)\lambda \Delta t +P_n(t)+P_{n+1}(t)\mu \Delta t - P_{n-1}(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 + P_n(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 - P_{n+1}(t)\mu(\Delta t)^2 + P_n(t)\mu \lambda (\Delta t)^2\\ P_n(t+\Delta t)=P_n(t) + \Delta t(P_{n-1}(t)\lambda - P_n(t)\mu - P_n(t)\lambda + P_{n+1}(t)\mu) + - P_{n-1}(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 + P_n(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 - P_{n+1}(t)\mu(\Delta t)^2 + P_n(t)\mu \lambda (\Delta t)^2\\ \frac{P_n(t+\Delta t) - P_n(t)}{\Delta t} = P_{n-1}(t)\lambda - P_n(t)\mu - P_n(t)\lambda + P_{n+1}(t)\mu - P_{n-1}(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 + P_n(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 - P_{n+1}(t)\mu(\Delta t)^2 + P_n(t)\mu \lambda (\Delta t)^2\\ \end{aligned}

ここで\Delta t \rightarrow 0とすると微分の定義と(\Delta t)^2を含む項が消えることによって

\frac{d}{dt}P_{n}(t)=P_{n-1}(t)\lambda - P_n(t)\mu - P_n(t)\lambda + P_{n+1}(t)\mu\\ \frac{d}{dt}P_{n}(t)=P_{n-1}(t)\lambda - (\mu + \lambda)P_{n}(t)+ P_{n+1}(t)\mu\\

以上よりM/M/1待ち行列の微分方程式を導くことができた.

Discussion

ログインするとコメントできます