M/M/1型待ち行列の微分方程式

この記事では時刻$tt$にシステム内に$nn$人いる確立を$Pn(t)P_n(t)$，単位時間あたりに到着する人数の平均を$λ\lambda$,サービスを受ける人数を$μ\mu$とした時の微分方程式を導く．

この待ち行列には以下の3つの確率が絡んでくる．

時刻$tt$で$nn$人並んでいる確立	$Δt\Delta t$の間に客が来る確立	$Δt\Delta t$の間にサービスが終わる確立
$Pt(n)P_t(n)$	$λΔt\lambda \Delta t$	$μΔt\mu \Delta t$

時刻$t+Δtt+\Delta t$において待ち行列の長さが$nn$である確立$Pn(t+Δt)P_n({t+\Delta t})$は4つの状態から遷移し起こりうる．

時刻tでn-1人並んでいて，その後1人並びサービスが1人終わらない場合

$Δt\Delta t$の間にサービスが終わらない確率は$(1−μΔt)(1-\mu\Delta t)$と表される．

$$Pn−1(t)λΔt(1−μΔt) P_{n-1}(t)\lambda \Delta t (1-\mu \Delta t)$$

時刻tでn人並んでいて，その後1人並び1人サービスが1人終了する場合

$$Pn(t)λΔtμΔt P_n(t)\lambda \Delta t \mu \Delta t$$

時刻tでn人並んでいて，その後誰も来ずサービスが1人も終わらない場合

$$Pn(t)(1−λΔt)(1−μΔt) P_n(t)(1-\lambda \Delta t) (1-\mu \Delta t)$$

時刻tでn+1人並んでいて，その後誰も来ずサービスが1人終了する場合

$$Pn+1(t)(1−λΔt)μΔt P_{n+1}(t)(1-\lambda \Delta t)\mu \Delta t$$

以上より，

$$Pn(t+Δt)=Pn−1(t)λΔt(1−μΔt)+Pn(t)λΔtμΔt+Pn(t)(1−λΔt)(1−μΔt)+Pn+1(t)(1−λΔt)μΔt P_n(t+\Delta t)=P_{n-1}(t)\lambda \Delta t (1-\mu \Delta t)+P_n(t)\lambda \Delta t \mu \Delta t+P_n(t)(1-\lambda \Delta t) (1-\mu \Delta t)+P_{n+1}(t)(1-\lambda \Delta t)\mu \Delta t$$

といえる．これをさらに式変形する．具体的には$Δt→0\Delta t \rightarrow 0$としたときに誤差項として扱う$(Δt)2(\Delta t)^2$を含むものと$Δt\Delta t$を含むもの，そうでないものに分け，微分の定義の形となるようにしている．式変形の便宜上$(Δt)2(\Delta t)^2$を含むものも計算しているが，実際に計算を行う場合は$Δt→0\Delta t \rightarrow0$とすると消えるので計算しなくとも良い．

$$Pn(t+Δt)=Pn−1(t)λΔt+Pn(t)+Pn+1(t)μΔt−Pn−1(t)λμ(Δt)2+Pn(t)λμ(Δt)2−Pn+1(t)μ(Δt)2+Pn(t)μλ(Δt)2Pn(t+Δt)=Pn(t)+Δt(Pn−1(t)λ−Pn(t)μ−Pn(t)λ+Pn+1(t)μ)+−Pn−1(t)λμ(Δt)2+Pn(t)λμ(Δt)2−Pn+1(t)μ(Δt)2+Pn(t)μλ(Δt)2Pn(t+Δt)−Pn(t)Δt=Pn−1(t)λ−Pn(t)μ−Pn(t)λ+Pn+1(t)μ−Pn−1(t)λμ(Δt)2+Pn(t)λμ(Δt)2−Pn+1(t)μ(Δt)2+Pn(t)μλ(Δt)2 \begin{aligned} P_n(t+\Delta t)=P_{n-1}(t)\lambda \Delta t +P_n(t)+P_{n+1}(t)\mu \Delta t - P_{n-1}(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 + P_n(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 - P_{n+1}(t)\mu(\Delta t)^2 + P_n(t)\mu \lambda (\Delta t)^2\\ P_n(t+\Delta t)=P_n(t) + \Delta t(P_{n-1}(t)\lambda - P_n(t)\mu - P_n(t)\lambda + P_{n+1}(t)\mu) + - P_{n-1}(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 + P_n(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 - P_{n+1}(t)\mu(\Delta t)^2 + P_n(t)\mu \lambda (\Delta t)^2\\ \frac{P_n(t+\Delta t) - P_n(t)}{\Delta t} = P_{n-1}(t)\lambda - P_n(t)\mu - P_n(t)\lambda + P_{n+1}(t)\mu - P_{n-1}(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 + P_n(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 - P_{n+1}(t)\mu(\Delta t)^2 + P_n(t)\mu \lambda (\Delta t)^2\\ \end{aligned}$$

ここで$Δt→0\Delta t \rightarrow 0$とすると微分の定義と$(Δt)2(\Delta t)^2$を含む項が消えることによって

$$ddtPn(t)=Pn−1(t)λ−Pn(t)μ−Pn(t)λ+Pn+1(t)μddtPn(t)=Pn−1(t)λ−(μ+λ)Pn(t)+Pn+1(t)μ \frac{d}{dt}P_{n}(t)=P_{n-1}(t)\lambda - P_n(t)\mu - P_n(t)\lambda + P_{n+1}(t)\mu\\ \frac{d}{dt}P_{n}(t)=P_{n-1}(t)\lambda - (\mu + \lambda)P_{n}(t)+ P_{n+1}(t)\mu\\$$

以上よりM/M/1待ち行列の微分方程式を導くことができた．