この記事では時刻tにシステム内にn人いる確立をP_n(t)，単位時間あたりに到着する人数の平均を\lambda,サービスを受ける人数を\muとした時の微分方程式を導く．
この待ち行列には以下の3つの確率が絡んでくる．
| 時刻tでn人並んでいる確立 |
\Delta tの間に客が来る確立 |
\Delta tの間にサービスが終わる確立 |
| P_t(n) |
\lambda \Delta t |
\mu \Delta t |
時刻t+\Delta tにおいて待ち行列の長さがnである確立P_n({t+\Delta t})は4つの状態から遷移し起こりうる．
時刻tでn-1人並んでいて，その後1人並びサービスが1人終わらない場合
\Delta tの間にサービスが終わらない確率は(1-\mu\Delta t)と表される．
P_{n-1}(t)\lambda \Delta t (1-\mu \Delta t)
時刻tでn人並んでいて，その後1人並び1人サービスが1人終了する場合
P_n(t)\lambda \Delta t \mu \Delta t
時刻tでn人並んでいて，その後誰も来ずサービスが1人も終わらない場合
P_n(t)(1-\lambda \Delta t) (1-\mu \Delta t)
時刻tでn+1人並んでいて，その後誰も来ずサービスが1人終了する場合
P_{n+1}(t)(1-\lambda \Delta t)\mu \Delta t
以上より，
P_n(t+\Delta t)=P_{n-1}(t)\lambda \Delta t (1-\mu \Delta t)+P_n(t)\lambda \Delta t \mu \Delta t+P_n(t)(1-\lambda \Delta t) (1-\mu \Delta t)+P_{n+1}(t)(1-\lambda \Delta t)\mu \Delta t
といえる．これをさらに式変形する．具体的には\Delta t \rightarrow 0としたときに誤差項として扱う(\Delta t)^2を含むものと\Delta tを含むもの，そうでないものに分け，微分の定義の形となるようにしている．式変形の便宜上(\Delta t)^2を含むものも計算しているが，実際に計算を行う場合は\Delta t \rightarrow0とすると消えるので計算しなくとも良い．
\begin{aligned}
P_n(t+\Delta t)=P_{n-1}(t)\lambda \Delta t +P_n(t)+P_{n+1}(t)\mu \Delta t - P_{n-1}(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 + P_n(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 - P_{n+1}(t)\mu(\Delta t)^2 + P_n(t)\mu \lambda (\Delta t)^2\\
P_n(t+\Delta t)=P_n(t) + \Delta t(P_{n-1}(t)\lambda - P_n(t)\mu - P_n(t)\lambda + P_{n+1}(t)\mu) + - P_{n-1}(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 + P_n(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 - P_{n+1}(t)\mu(\Delta t)^2 + P_n(t)\mu \lambda (\Delta t)^2\\
\frac{P_n(t+\Delta t) - P_n(t)}{\Delta t} = P_{n-1}(t)\lambda - P_n(t)\mu - P_n(t)\lambda + P_{n+1}(t)\mu - P_{n-1}(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 + P_n(t)\lambda \mu (\Delta t)^2 - P_{n+1}(t)\mu(\Delta t)^2 + P_n(t)\mu \lambda (\Delta t)^2\\
\end{aligned}
ここで\Delta t \rightarrow 0とすると微分の定義と(\Delta t)^2を含む項が消えることによって
\frac{d}{dt}P_{n}(t)=P_{n-1}(t)\lambda - P_n(t)\mu - P_n(t)\lambda + P_{n+1}(t)\mu\\
\frac{d}{dt}P_{n}(t)=P_{n-1}(t)\lambda - (\mu + \lambda)P_{n}(t)+ P_{n+1}(t)\mu\\
以上よりM/M/1待ち行列の微分方程式を導くことができた．
Discussion