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ガンマ分布とベータ分布

2021/10/14に公開

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未だに忘れがちなので, ここにまとめておこう

ガンマ関数

$\alpha > 0$ として,

\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha - 1} e^{-x} dx

性質

正の整数 $n$ に対して, $\Gamma(n) = (n-1)!$
$\alpha > 1$ において, $\Gamma(\alpha) = (\alpha - 1) \Gamma(\alpha - 1)$
$\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$ . これは, 二重積分で求まるので有名な $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ に帰着させることでわかる

ガンマ分布

$\alpha, \beta > 0$ をパラメータとして, 確率密度関数が

f(x) = \dfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{- \beta x} \quad (0 \leq x < \infty)

で定義されるような分布（ $\Gamma(\alpha, \beta)$ と表記）

性質

積率母関数は $\left(\dfrac{\beta}{\beta - t}\right)^\alpha (- \infty < t < \beta)$ （比較的簡単に導出できるので自分で確認しておこう）
$k$ 次のモーメントは以下のように, 直接計算して普通に求められる

\begin{aligned} E[X^k] &= \int_0^{\infty} x^k \dfrac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{- \beta x} dx \\ &= \int_0^{\infty} \dfrac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha + k - 1} e^{- \beta x} dx \\ &= \dfrac{\Gamma(\alpha + k)}{\Gamma(\alpha) \beta^k} \int_0^{\infty} \dfrac{\beta^{\alpha + k}}{\Gamma(\alpha + k)} x^{\alpha + k - 1} e^{- \beta x} dx \\ &= \dfrac{\Gamma(\alpha + k)}{\Gamma(\alpha) \beta^k} \\ &= \dfrac{\alpha (\alpha + 1) ... (\alpha + k - 1)}{\beta^k} \end{aligned}

$\alpha = 1$ としたものは指数分布である
$X_1, ... X_n$ が互いに独立に指数分布 $\Gamma(1, \beta)$ にしたがうとき, $Y = X_1 + X_2 + ... + X_n$ は $\Gamma(\alpha, \beta)$ にしたがう.
（証明1） $X_1 + X_2 + ... + X_k$ が $\Gamma(k, \beta)$ にしたがうならば, $X_1 + X_2 + ... + X_{k+1}$ が $\Gamma(k + 1, \beta)$ にしたがうことを帰納法により示す.
これは, 畳み込み積分によりできる.

\begin{aligned} &\int_{0}^{y} (\beta e^{-\beta x}) \cdot \dfrac{\beta^k}{\Gamma(k)} (y - x)^{k-1} e^{-\beta(y - x)} dx \\ =& \dfrac{\beta^{k+1}}{\Gamma(k)} e^{-\beta y} \int_0^y (y - x)^{k-1} dx \\ =& \dfrac{\beta^{k+1}}{\Gamma(k)} e^{-\beta y} \dfrac{y^k}{k} \\ =& \dfrac{\beta^{k+1}}{\Gamma(k+1)} y^k e^{-\beta y} \\ \end{aligned}

（証明2）積率母関数の性質（ $X, Y$ が独立のとき $M_{X+Y}(t) = M_X(t) M_Y(t)$ ）を使う.
指数分布 $f(x) = \beta e^{- \beta x}$ の積率母関数が $\dfrac{\beta}{\beta - t}$ であることから, ほぼ明らか
自由度 $n$ のカイ二乗分布 $\chi^2(n)$ は $\Gamma(\frac{n}{2}, \frac{1}{2})$ である
ポアソン分布の共役事前分布である

ベータ関数

$s, t > 0$ として,

B(s, t) = \int_{0}^{1} x^{s-1} (1-x)^{t-1} dx

性質

$B(s, t) = B(t, s)$
$B(s, t) = \dfrac{\Gamma(s)\Gamma(t)}{\Gamma(s+t)}$
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^\alpha \theta \cos^\beta \theta d \theta$ の形の積分は, $x = \sin^2 \theta$ 等の置換によりベータ関数に帰着できる
$\displaystyle\int_{0}^{\infty} \dfrac{x^\alpha}{(x + k)^\beta} dx$ の形の積分は, $y = \dfrac{k}{x + k}$ 等の置換によりベータ関数に帰着できる

ベータ分布

$p, q > 0$ をパラメータとして, 確率密度関数が

f(x) = \dfrac{1}{B(p, q)} x^{p-1} (1 - x)^{q - 1} \quad (0 < x < 1)

で定義されるような分布（ $Beta(p, q)$ と表記）

性質

正の整数 $p, q$ に対して, $X_1, ... X_{p + q - 1}$ が互いに独立に標準一様分布 $U(0, 1)$ に従うとき, 順序統計量 $X_{(p)}$ （小さい方から $p$ 番目, 大きい方から $q$ 番目のもの）が従う分布になっている
- 実際, $U(0,1)$ の確率密度関数 $f(x) = 1$ , 分布関数 $F(x) = x$ に対して, 以下を計算すると, ベータ分布の確率密度関数と一致している

\dfrac{n!}{(p-1)!(n-p)!} F(x)^{p-1} \cdot f(x) \cdot (1 - F(x))^{n-p}

$X_1, X_2$ が互いに独立にそれぞれガンマ分布 $\Gamma(\alpha_1, \beta)$ とガンマ分布 $\Gamma(\alpha_2, \beta)$ にしたがうとき, $Y = \dfrac{X_1}{X_1 + X_2}$ の従う分布は $Beta(\alpha_1, \alpha_2)$ である

二項分布の共役事前分布である

Reference

『リスクを知るための確率・統計入門』（岩田）

Discussion

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