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Chern-Simons 項が全微分の形で書けることについて

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\gdef\tr{\mathrm{tr}}

対称性とくりこみ可能性の要請からラグランジアンを作ると場の強さの他に

\theta \tr G_{\mu\nu} \tilde{G}^{\mu\nu}, \tag{1}

が許される。この項の存在は場のCP対称性を破るが、実際にはCP対称性があるため\thetaは非常に小さい値を取る。QCDの文脈ではこの微調整問題を強いCP問題という。これを解決するために導入されたのがaxionであり、最近ではダークマター候補として話題になっているが、ここではそのような面白い話をするのではなく、この項が

\partial_{\mu} K^{\mu},

の形になることを(以外と難しいので備忘録として)示す[1]

非可換ゲージ場A_{\mu} = A^{a}_{\mu} T^{a}の場の強さは

\begin{aligned} G_{\mu\nu} = \partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu} - ig[A_{\mu}, A_{\nu}] \end{aligned}

で与えられる。ここでT^{a}は群の生成子で

[T^{a}, T^{b}] = i f^{abc} T^{c}, \quad \tr T^{a} T^{b} = \frac{1}{2} \delta^{ab}

などの性質を持つ。またf^{abc}は群の構造定数である。また\tilde{G}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} G^{\rho\sigma}は双対な場の強さを表す。

(1)式を展開する。

\begin{aligned} &\tr\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} G^{\mu\nu} G^{\rho\sigma} \\ &= \tr\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} (\partial^{\mu} A^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu} - ig[A^{\mu}, A^{\nu}]) (\partial^{\rho} A^{\sigma} - \partial^{\sigma} A^{\rho} - ig[A^{\rho}, A^{\sigma}]) \\ &= \tr\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} (2\partial^{\mu} A^{\nu} - ig[A^{\mu}, A^{\nu}]) (2\partial^{\rho} A^{\sigma} - ig[A^{\rho}, A^{\sigma}]) \\ &= \tr\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} ( 4 \partial^{\mu} A^{\nu} \partial^{\rho} A^{\sigma} - 2ig ( \partial^{\mu} A^{\nu} [A^{\rho}, A^{\sigma}] + [A^{\mu}, A^{\nu}] \partial^{\rho} A^{\sigma} ) - g^{2} [A^{\mu}, A^{\nu}] [A^{\rho}, A^{\sigma}] ) \end{aligned}

まず1項目については、微分が交換することから

\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \partial^{\mu} A^{\nu} \partial^{\rho} A^{\sigma} = \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} ( \partial^{\mu} (A^{\nu} \partial^{\rho} A^{\sigma}) - A^{\nu} \partial^{\mu} \partial^{\rho} A^{\sigma} ) = \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \partial^{\mu} (A^{\nu} \partial^{\rho} A^{\sigma})

がわかる。また最後の項は

\begin{aligned} &\tr\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} [A^{\mu}, A^{\nu}] [A^{\rho}, A^{\sigma}] \\ &= 4\tr \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} A^{\mu} A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma} \\ &= 2 \tr \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} ( A^{\mu} A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma} + A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma} A^{\mu} ) \\ &= 2 \tr \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} ( A^{\mu} A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma} - A^{\mu} A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma} ) \\ &= 0, \end{aligned}

となって消えることがわかる。ここでトレースの巡回性(2行目)と\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}の反対称性(3行目)を用いた。
残りの項はまず\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}の置換の性質から

\begin{aligned} &\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}( \partial^{\mu} A^{\nu} [A^{\rho}, A^{\sigma}] + [A^{\mu}, A^{\nu}] \partial^{\rho} A^{\sigma} ) \\ &= \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} ( \partial^{\mu} A^{\nu} [A^{\rho}, A^{\sigma}] + [A^{\rho}, A^{\sigma}] \partial^{\mu} A^{\nu} ) \\ &= \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \{ \partial^{\mu} A^{\nu}, [A^{\rho}, A^{\sigma}] \} \end{aligned}

となる。ここで\{M, N\} = MN + NMは反交換子である。これは反対称性テンソルを使って更に

\begin{aligned} &\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \{ \partial^{\mu} A^{\nu}, [A^{\rho}, A^{\sigma}] \} \\ &= \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \{ \partial^{\mu} A^{\nu}, [A^{\rho}, A^{\sigma}] \} + \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \{ \partial^{\mu} A^{\nu}, \{A^{\rho}, A^{\sigma}\} \} \\ &= 2 \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \{ \partial^{\mu} A^{\nu}, A^{\rho} A^{\sigma} \} \end{aligned}

とすることができる。これは更に

\begin{aligned} &2 \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \{ \partial^{\mu} A^{\nu}, A^{\rho} A^{\sigma} \} \\ &= \frac{2}{3} ( \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \{ \partial^{\mu} A^{\nu}, A^{\rho} A^{\sigma} \} + \varepsilon_{\mu\rho\sigma\nu} \{ \partial^{\mu} A^{\rho}, A^{\sigma} A^{\nu} \} + \varepsilon_{\mu\sigma\nu\rho} \{ \partial^{\mu} A^{\sigma}, A^{\nu} A^{\rho} \} ) \\ &= \frac{2}{3} \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} ( \{ \partial^{\mu} A^{\nu}, A^{\rho} A^{\sigma} \} + \{ \partial^{\mu} A^{\rho}, A^{\sigma} A^{\nu} \} + \{ \partial^{\mu} A^{\sigma}, A^{\nu} A^{\rho} \} ) \end{aligned}

と変形することができる[2]

反交換関係の部分を計算し、トレースの性質を使えば

\begin{aligned} &\tr( \{ \partial^{\mu} A^{\nu}, A^{\rho} A^{\sigma} \} + \{ \partial^{\mu} A^{\rho}, A^{\sigma} A^{\nu} \} + \{ \partial^{\mu} A^{\sigma}, A^{\nu} A^{\rho} \} ) \\ &= \tr( \partial^{\mu} (A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma}) - A^{\nu} \partial^{\mu} A^{\rho} - A^{\nu} A^{\rho} \partial^{\mu} A^{\sigma} + A^{\rho} A^{\sigma} \partial^{\mu} A^{\nu} \\ &+ \partial^{\mu} A^{\rho} A^{\sigma} A^{\nu} + A^{\sigma} A^{\nu} \partial^{\mu} A^{\rho} \\ &+ \partial^{\mu} A^{\sigma} A^{\nu} A^{\rho} + \partial^{\mu} (A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma}) - \partial^{\mu} A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma} - A^{\nu} \partial^{\mu} A^{\rho} A^{\sigma} ) \\ &= 2 \partial^{\mu} \tr (A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma}) \end{aligned}

となる。以上より、

\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} G^{\mu\nu} G^{\rho\sigma} = 4 \partial^{\mu} \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \tr( A^{\nu} \partial^{\rho} A^{\sigma} - \frac{2}{3} ig A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma} )

となり、K_{\mu}

K_{\mu} = 4 \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \tr( A^{\nu} \partial^{\rho} A^{\sigma} - \frac{2}{3} ig A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma} )

であることがわかる。またK_{\mu}を群の添字を使って書き直せば、

\begin{aligned} K_{\mu} &= 2 \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} A^{\nu} \tr( \partial^{\rho} A^{\sigma} - \partial^{\sigma} A^{\rho} - \frac{2}{3} ig [A^{\rho}, A^{\sigma}] ) \\ &= 2 \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} A^{\nu} \tr( G^{\rho\sigma} + \frac{1}{3} ig [A^{\rho}, A^{\sigma}] ) \\ &= 2 \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} A^{a\nu} \tr( G^{b\rho\sigma} - \frac{1}{3} gf^{bcd} A^{c\rho} A^{d\sigma} ) T^{a} T^{b} \\ &= \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} A^{a\nu} \tr( G^{a\rho\sigma} - \frac{1}{3} gf^{abc} A^{b\rho} A^{c\sigma} ) \end{aligned}

脚注
  1. 全体の係数は適当です。 ↩︎

  2. この部分はちょっと天下り的でいまいち。 ↩︎

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