対称性とくりこみ可能性の要請からラグランジアンを作ると場の強さの他に
\theta \tr G_{\mu\nu} \tilde{G}^{\mu\nu},
\tag{1}
が許される。この項の存在は場のCP対称性を破るが、実際にはCP対称性があるため\thetaは非常に小さい値を取る。QCDの文脈ではこの微調整問題を強いCP問題という。これを解決するために導入されたのがaxionであり、最近ではダークマター候補として話題になっているが、ここではそのような面白い話をするのではなく、この項が
の形になることを（以外と難しかったので備忘録として）示す。
非可換ゲージ場A_{\mu} = A^{a}_{\mu} T^{a}の場の強さは
\begin{aligned}
G_{\mu\nu} = \partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu} - ig[A_{\mu}, A_{\nu}]
\end{aligned}
で与えられる。ここでT^{a}は群の生成子で
[T^{a}, T^{b}] = i f^{abc} T^{c},
\quad
\tr T^{a} T^{b} = \frac{1}{2} \delta^{ab}
などの性質を持つ。またf^{abc}は群の構造定数である。また\tilde{G}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} G^{\rho\sigma}は双対な場の強さを表す。
(1)式を展開する。
\begin{aligned}
&\tr\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} G^{\mu\nu} G^{\rho\sigma}
\\ &= \tr\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} (\partial^{\mu} A^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu} - ig[A^{\mu}, A^{\nu}])
(\partial^{\rho} A^{\sigma} - \partial^{\sigma} A^{\rho} - ig[A^{\rho}, A^{\sigma}]) \\
&= \tr\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} (2\partial^{\mu} A^{\nu} - ig[A^{\mu}, A^{\nu}])
(2\partial^{\rho} A^{\sigma} - ig[A^{\rho}, A^{\sigma}]) \\
&= \tr\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} (
4 \partial^{\mu} A^{\nu} \partial^{\rho} A^{\sigma}
- 2ig ( \partial^{\mu} A^{\nu} [A^{\rho}, A^{\sigma}] + [A^{\mu}, A^{\nu}] \partial^{\rho} A^{\sigma} )
- g^{2} [A^{\mu}, A^{\nu}] [A^{\rho}, A^{\sigma}]
)
\end{aligned}
まず1項目については、微分が交換することから
\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \partial^{\mu} A^{\nu} \partial^{\rho} A^{\sigma}
= \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} ( \partial^{\mu} (A^{\nu} \partial^{\rho} A^{\sigma}) - A^{\nu} \partial^{\mu} \partial^{\rho} A^{\sigma} )
= \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \partial^{\mu} (A^{\nu} \partial^{\rho} A^{\sigma})
がわかる。また最後の項は
\begin{aligned}
&\tr\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} [A^{\mu}, A^{\nu}] [A^{\rho}, A^{\sigma}]
\\ &= 4\tr \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} A^{\mu} A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma}
\\ &= 2 \tr \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} ( A^{\mu} A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma} + A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma} A^{\mu} )
\\ &= 2 \tr \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} ( A^{\mu} A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma} - A^{\mu} A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma} )
\\ &= 0,
\end{aligned}
となって消えることがわかる。ここでトレースの巡回性（２行目）と\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}の反対称性（３行目）を用いた。
残りの項はまず\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}の置換の性質から
\begin{aligned}
&\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}( \partial^{\mu} A^{\nu} [A^{\rho}, A^{\sigma}] + [A^{\mu}, A^{\nu}] \partial^{\rho} A^{\sigma} ) \\
&= \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} ( \partial^{\mu} A^{\nu} [A^{\rho}, A^{\sigma}] + [A^{\rho}, A^{\sigma}] \partial^{\mu} A^{\nu} ) \\
&= \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \{ \partial^{\mu} A^{\nu}, [A^{\rho}, A^{\sigma}] \}
\end{aligned}
となる。ここで\{M, N\} = MN + NMは反交換子である。これは反対称性テンソルを使って更に
\begin{aligned}
&\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \{ \partial^{\mu} A^{\nu}, [A^{\rho}, A^{\sigma}] \}
\\ &= \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \{ \partial^{\mu} A^{\nu}, [A^{\rho}, A^{\sigma}] \}
+ \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \{ \partial^{\mu} A^{\nu}, \{A^{\rho}, A^{\sigma}\} \}
\\ &= 2 \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \{ \partial^{\mu} A^{\nu}, A^{\rho} A^{\sigma} \}
\end{aligned}
とすることができる。これは更に
\begin{aligned}
&2 \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \{ \partial^{\mu} A^{\nu}, A^{\rho} A^{\sigma} \}
\\ &= \frac{2}{3} (
\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \{ \partial^{\mu} A^{\nu}, A^{\rho} A^{\sigma} \}
+ \varepsilon_{\mu\rho\sigma\nu} \{ \partial^{\mu} A^{\rho}, A^{\sigma} A^{\nu} \}
+ \varepsilon_{\mu\sigma\nu\rho} \{ \partial^{\mu} A^{\sigma}, A^{\nu} A^{\rho} \}
)
\\ &= \frac{2}{3} \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} (
\{ \partial^{\mu} A^{\nu}, A^{\rho} A^{\sigma} \}
+ \{ \partial^{\mu} A^{\rho}, A^{\sigma} A^{\nu} \}
+ \{ \partial^{\mu} A^{\sigma}, A^{\nu} A^{\rho} \}
)
\end{aligned}
と変形することができる。
反交換関係の部分を計算し、トレースの性質を使えば
\begin{aligned}
&\tr(
\{ \partial^{\mu} A^{\nu}, A^{\rho} A^{\sigma} \}
+ \{ \partial^{\mu} A^{\rho}, A^{\sigma} A^{\nu} \}
+ \{ \partial^{\mu} A^{\sigma}, A^{\nu} A^{\rho} \}
)
\\ &= \tr(
\partial^{\mu} (A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma}) - A^{\nu} \partial^{\mu} A^{\rho} - A^{\nu} A^{\rho} \partial^{\mu} A^{\sigma}
+ A^{\rho} A^{\sigma} \partial^{\mu} A^{\nu}
\\ &+ \partial^{\mu} A^{\rho} A^{\sigma} A^{\nu} + A^{\sigma} A^{\nu} \partial^{\mu} A^{\rho}
\\ &+ \partial^{\mu} A^{\sigma} A^{\nu} A^{\rho} + \partial^{\mu} (A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma})
- \partial^{\mu} A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma} - A^{\nu} \partial^{\mu} A^{\rho} A^{\sigma}
)
\\ &= 2 \partial^{\mu} \tr (A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma})
\end{aligned}
となる。以上より、
\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} G^{\mu\nu} G^{\rho\sigma} = 4 \partial^{\mu} \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \tr(
A^{\nu} \partial^{\rho} A^{\sigma} - \frac{2}{3} ig A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma}
)
となり、K_{\mu}が
K_{\mu} = 4 \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \tr(
A^{\nu} \partial^{\rho} A^{\sigma} - \frac{2}{3} ig A^{\nu} A^{\rho} A^{\sigma}
)
であることがわかる。またK_{\mu}を群の添字を使って書き直せば、
\begin{aligned}
K_{\mu} &= 2 \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} A^{\nu} \tr(
\partial^{\rho} A^{\sigma} - \partial^{\sigma} A^{\rho} - \frac{2}{3} ig [A^{\rho}, A^{\sigma}]
)
\\ &= 2 \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} A^{\nu} \tr(
G^{\rho\sigma} + \frac{1}{3} ig [A^{\rho}, A^{\sigma}]
)
\\ &= 2 \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} A^{a\nu} \tr(
G^{b\rho\sigma} - \frac{1}{3} gf^{bcd} A^{c\rho} A^{d\sigma}
) T^{a} T^{b}
\\ &= \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} A^{a\nu} \tr(
G^{a\rho\sigma} - \frac{1}{3} gf^{abc} A^{b\rho} A^{c\sigma}
)
\end{aligned}
Discussion