Open28日前にコメント追加1確率変数の和と差の共分散math統計学統計検定共分散統計応用redtea28日前に更新ある確率変数 X と Y の間に相関がある場合の、( X+Y ) と ( X-Y ) の間の共分散を計算します。ただし、E[X], V[X], E[Y], V[Y], \text{Cov}(X,Y)は既知とします。 共分散の定義 \text{Cov}(X+Y, X-Y) = E\left[(X+Y)(X-Y)\right] - E[X+Y]E[X-Y] 計算 \begin{align*} \text{Cov}(X+Y, X-Y) &= E\left[(X+Y)(X-Y)\right] - E[X+Y]E[X-Y] \\ &= E[X^2 - Y^2] - E[X+Y]E[X-Y] \\ &= E[X^2] - E[Y^2] - (E[X] + E[Y])(E[X] - E[Y]) \\ &= (V[X] + E[X]^2 - V[Y] + E[Y]^2) - (E[X]^2 - E[Y]^2) \\ &= V[X] - V[Y] \end{align*}
redtea28日前に更新ある確率変数 X と Y の間に相関がある場合の、( X+Y ) と ( X-Y ) の間の共分散を計算します。ただし、E[X], V[X], E[Y], V[Y], \text{Cov}(X,Y)は既知とします。 共分散の定義 \text{Cov}(X+Y, X-Y) = E\left[(X+Y)(X-Y)\right] - E[X+Y]E[X-Y] 計算 \begin{align*} \text{Cov}(X+Y, X-Y) &= E\left[(X+Y)(X-Y)\right] - E[X+Y]E[X-Y] \\ &= E[X^2 - Y^2] - E[X+Y]E[X-Y] \\ &= E[X^2] - E[Y^2] - (E[X] + E[Y])(E[X] - E[Y]) \\ &= (V[X] + E[X]^2 - V[Y] + E[Y]^2) - (E[X]^2 - E[Y]^2) \\ &= V[X] - V[Y] \end{align*}
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