Hermite曲線の自己同型写像

エルミート曲線にも楕円曲線のような群構造があるのか、曲線上で有理関数を定義してその挙動を調べる実験。
そこでとりあえず点数えをやった。
まず素数p=7、F=GF(7^2)として２次拡大する。

計算しようとしている曲線はエルミート曲線。
C(x,y)：y^q+y=x^{q+1}
こんな曲線である。
ここでp=7とすると、p^2=7^2=GF(49)である。
この曲線の有理点の個数は、2次拡大の体で最大曲線（Serre限界式の最大値）になることが知られている。
点を数えます。
さあ、レッツ計算！ｗ
計算結果は343個。
7^3=343
であり、ガウス平面上にない無限遠点を加えるとq^3+1=344になることがわかり、普通の有限体と同じであることがわかった。

続いてこの曲線状にある任意の点を出発して、準海軍を作れるかどうかが問題です。
準海軍ということはアーベル多様体なので、エルミート軍は果たしてどんな自己同型群を持っているのでしょう？
一方、曲線の点の位数は344=8*43なので位数としては大したことがありません。
しかし可能性としては、位数が８と43の準海軍になる可能性があります。
巡回しなければアーベルではない多様体かもしれません。（なぜ？）

そんなわけで代数幾何の使いみちを模索してみたり。
結果が出たらまた書きます。