高専の2年で数学を教えてくれていた先生のわかりやすい外積計算法が案外調べても出てこなかったので，備忘録的に記事にしておきます。
外積の定義
\bm{a} = \begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix},\quad
\bm{b} = \begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{pmatrix}
とした時，\bm{a}と\bm{b}の外積は以下のように定義されます。(\bm{i}, \bm{j}, \bm{k}はそれぞれx,y,z方向の原点からの単位ベクトル)
\begin{align*}
\bm{a} \times \bm{b} &= \begin{vmatrix}
\bm{i} & a_1 & b_1 \\ \bm{j} & a_2 & b_2 \\ \bm{k} & a_3 & b_3
\end{vmatrix} \\
&= \begin{vmatrix}
a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3
\end{vmatrix}\bm{i} - \begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3
\end{vmatrix}\bm{j} + \begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2
\end{vmatrix}\bm{k}\\
&= (a_2 b_3 - b_2 a_3)\bm{i} - (a_1 b_3 - b_1a_3)\bm{j} + (a_1b_2 - b_1a_2)\bm{k}
\end{align*}
うーん，覚えられる気がしない...
この公式を覚えるのはしんどいし，間違えてしまう可能性も高いと思います。
しかし，もっと簡単に覚えられて間違えにくい外積の計算方法があるのです。
楽な計算方法
まず以下のように各成分を並べます。
a_1\quad a_2\quad a_3\quad a_1\quad a_2\quad a_3 \\
b_1\quad b_2\quad b_3\quad b_1\quad b_2\quad b_3
ベクトルの各成分を2セット横に並べ，2列で書きます。
次に両端の成分を消します。
a_2\quad a_3\quad a_1\quad a_2 \\
b_2\quad b_3\quad b_1\quad b_2
ここからが計算です。
左から順にたすき掛けの計算をしましょう。ここでのたすき掛けは2x2の行列式の計算と同じ計算を指します。
つまり，それぞれ以下のような行列式を計算します。
\begin{vmatrix}
a_2&a_3 \\ b_2&b_3
\end{vmatrix}\quad
\begin{vmatrix}
a_3&a_1 \\ b_3 & b_1
\end{vmatrix}\quad
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2
\end{vmatrix}
注意点はたすき掛けの対象を1行ずつずらすことです。
なので，真ん中の2つは重複します。
これで計算は終わりました。
実はこの3つの行列式の演算結果が外積の計算結果の各成分となっているのです。
確かめてみましょう。
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a_2&a_3 \\ b_2&b_3
\end{vmatrix} &= a_2b_3 - a_3b_2 \\
\begin{vmatrix}
a_3&a_1 \\ b_3 & b_1
\end{vmatrix} &= a_3b_1 - a_1b_3 = -(a_1 b_3 - b_1a_3) \\
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2
\end{vmatrix} &= a_1b_2 - a_2b_1
\end{align*}
さっきの公式と比較すると外積結果の各成分と対応しているのがわかります。
実際の計算例
では実際に計算してみましょう。
\bm{a} = \begin{pmatrix}
-1 \\
2 \\
-3
\end{pmatrix},\quad
\bm{b} = \begin{pmatrix}
4 \\
-1 \\
2
\end{pmatrix}
とした時の\bm{a}\times\bm{b}を求めてみましょう。
計算過程
この計算をノートで行うと以下のようになります。(字が汚いのは許してください...)
並べた成分の隙間に計算結果を書くとわかりやすいです。
よって答えは以下のようになります。
\bm{a} \times \bm{b} = \begin{pmatrix}
1 \\ -10 \\ -7
\end{pmatrix}
まとめ
- 外積の公式を完璧に覚えるのはしんどい
- 公式を使うと正負が混ざったりして間違えやすい
- 横に並べて真ん中の行列式を計算する
外積の計算ミスが無くなることを祈ってます。
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