現代数理統計学の基礎 第3章 演習問題 問6 自作解答

はじめに

この記事は，現代数理統計学の基礎の第3章演習問題の問6について自作の解答を記したものです．

問題文，解答が掲載されている公式のサイトはこちらです．

解答

$$\begin{aligned} P(Y = y) &= P([X] = y) \\ &= P(y \leq X < y+1) \\ &= P(X < y+1) - P(X < y) \\ &= F_X(y+1) - F_X(y) \\ &= (1 - e^{-\lambda(y+1)}) - (1 - e^{-\lambda y}) \\ &= e^{-\lambda y} - e^{-\lambda(y+1)} \\ &= e^{-\lambda y} - e^{-\lambda y}e^{-\lambda} \\ &= e^{-\lambda y}(1 - e^{-\lambda}) \\ \end{aligned}$$

ここで，$p=1-e^{-\lambda}$とおくと，

$$P(Y = y) = (1-p)^y p$$

であり，これは幾何分布の確率関数である．
よって，$Y$は幾何分布に従う．

幾何分布は無記憶性をもつため

$$P[Y \geq t+s | Y \geq s] = P[Y \geq s]$$

が成り立つ．

参考文献

• 久保川 達也．現代数理統計学の基礎．共立出版．