現代数理統計学の基礎 第3章 演習問題 問5 自作解答

はじめに

この記事は，現代数理統計学の基礎の第3章演習問題の問5について自作の解答を記したものです．

問題文，解答が掲載されている公式のサイトはこちらです．

解答

$$\lambda(t) = \frac{f(t)}{1-F(t)}$$

の両辺を積分すると，

$$\begin{aligned} \int_0^x \lambda(t) dx &= \int_0^x \frac{f(t)}{1-F(t)} dx \\ \int_0^x \lambda(t) dx &= -\int_0^x -\frac{f(t)}{1-F(t)} dx \\ \int_0^x \lambda(t) dx &= -\int_0^x \frac{(1-F(t))'}{1-F(t)} dx \\ \int_0^x \lambda(t) dx &= -[\log(1-F(t))]_0^x \\ \int_0^x \lambda(t) dx &= -\log(1-F(x)) \\ -\int_0^x \lambda(t) dx &= \log(1-F(x)) \\ \exp(-\int_0^x \lambda(t) dx) &= 1-F(x) \\ F(x) &= 1-\exp(-\int_0^x \lambda(t) dx) \end{aligned}$$

となる．
これを$x$について微分すると，

$$\begin{aligned} f(x) &= \frac{d}{dx} \left[ 1-\exp(-\int_0^x \lambda(t) dt) \right] \\ &= 0 - \frac{d}{dx} \exp(-\int_0^x \lambda(t) dt) \\ &= \exp(-\int_0^x \lambda(t) dt) \frac{d}{dx} \int_0^x \lambda(t) dt \\ &= \exp(-\int_0^x \lambda(t) dt) \lambda(x) \\ &= \lambda(x) \exp(-\int_0^x \lambda(t) dt) \end{aligned}$$

となる．

参考文献

• 久保川 達也．現代数理統計学の基礎．共立出版．