現代数理統計学の基礎 第3章 演習問題 問2 自作解答

はじめに

この記事は，現代数理統計学の基礎の第3章演習問題の問2について自作の解答を記したものです．

問題文，解答が掲載されている公式のサイトはこちらです．

解答

2項係数の関係式1

$\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$が成り立つことを示す．

$$\begin{aligned} (左辺) &= \binom{n}{k} \\ &= \frac{n!}{k!(n-k)!} \\ \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (右辺) &= \binom{n}{n-k} \\ &= \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} \\ &= \frac{n!}{(n-k)!k!} \\ &= \frac{n!}{k!(n-k)!} \\ \end{aligned}$$

よって(左辺) = (右辺)であり，$\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$が成り立つことが示された．

2項係数の関係式2

$\dbinom{n+1}{k} = \dbinom{n}{k-1} + \dbinom{n}{k}$が成り立つことを示す．

$$\begin{aligned} (左辺) &= \binom{n+1}{k} \\ &= \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} \\ &= \frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!} \\ \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (右辺) &= \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \\ &= \frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!} + \binom{n}{k} \\ &= \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} + \binom{n}{k} \\ &= \frac{kn!}{k!(n-k+1)!} + \binom{n}{k} \\ &= \frac{kn!}{k!(n-k+1)!} + \frac{n!}{k!(n-k)!} \\ &= \frac{kn!}{k!(n-k+1)!} + \frac{(n-k+1)n!}{k!(n-k+1)!} \\ &= \frac{kn! + (n-k+1)n!}{k!(n-k+1)!} \\ &= \frac{(k+n-k+1)n!}{k!(n-k+1)!} \\ &= \frac{(n+1)n!}{k!(n-k+1)!} \\ &= \frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!} \\ \end{aligned}$$

よって(左辺) = (右辺)であり，$\dbinom{n+1}{k} = \dbinom{n}{k-1} + \dbinom{n}{k}$が成り立つことが示された．

数学的帰納法を用いて2項定理を証明する

2項定理

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{k} b^{n-k}$$

が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する．

$n=1$の場合

$$\begin{aligned} (左辺) &= (a+b)^1 \\ &= a+b \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (右辺) &= \sum_{k=0}^{1} \binom{1}{k} a^{k} b^{1-k} \\ &= \binom{1}{0} a^{0} b^{1-0} + \binom{1}{1} a^{1} b^{1-1} \\ &= b + a \\ &= a + b \end{aligned}$$(左辺)

$n=t$の時に成り立つと仮定したときの$n=t+1$の場合

$$\begin{aligned} (左辺) &= (a+b)^{t+1} \\ &= (a+b)(a+b)^t \\ &= (a+b) \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k} \\ &= \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k+1} b^{t-k} + \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\ &= \sum_{k'=1}^{t} \binom{t}{k'-1} a^{k'} b^{t-k'+1} + \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\ &= \sum_{k=1}^{t+1} \binom{t}{k-1} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\ &= a^{t+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t}{k-1} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\ &= a^{t+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t}{k-1} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k+1} + b^{t+1} \\ &= a^{t+1} + \sum_{k=1}^{t} \left( \binom{t}{k-1} + \binom{t}{k} \right) a^{k} b^{t-k+1} + b^{t+1} \\ &= a^{t+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} + b^{t+1} \\ &= \sum_{k=t+1}^{t+1} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} + b^{t+1} \\ &= \sum_{k=t+1}^{t+1} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=0}^{0} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\ &= \sum_{k=0}^{t+1} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\ &= (右辺) \end{aligned}$$

よって$n=t$で成り立つと仮定したとき，$n=t+1$でも成り立つことが示された．

以上の結果より，数学的帰納法により2項定理が成り立つことが示された．

参考文献

• 久保川 達也．現代数理統計学の基礎．共立出版．
• 水町龍一．基礎数学．学術図書出版社．