はじめに
この記事は,現代数理統計学の基礎の第3章演習問題の問2について自作の解答を記したものです.
問題文,解答が掲載されている公式のサイトはこちらです.
解答
2項係数の関係式1
\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}が成り立つことを示す.
\begin{aligned}
(左辺)
&= \binom{n}{k} \\
&= \frac{n!}{k!(n-k)!} \\
\end{aligned}
\begin{aligned}
(右辺)
&= \binom{n}{n-k} \\
&= \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} \\
&= \frac{n!}{(n-k)!k!} \\
&= \frac{n!}{k!(n-k)!} \\
\end{aligned}
よって(左辺) = (右辺)であり,\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}が成り立つことが示された.
2項係数の関係式2
\dbinom{n+1}{k} = \dbinom{n}{k-1} + \dbinom{n}{k}が成り立つことを示す.
\begin{aligned}
(左辺)
&= \binom{n+1}{k} \\
&= \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} \\
&= \frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!} \\
\end{aligned}
\begin{aligned}
(右辺)
&= \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \\
&= \frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!} + \binom{n}{k} \\
&= \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} + \binom{n}{k} \\
&= \frac{kn!}{k!(n-k+1)!} + \binom{n}{k} \\
&= \frac{kn!}{k!(n-k+1)!} + \frac{n!}{k!(n-k)!} \\
&= \frac{kn!}{k!(n-k+1)!} + \frac{(n-k+1)n!}{k!(n-k+1)!} \\
&= \frac{kn! + (n-k+1)n!}{k!(n-k+1)!} \\
&= \frac{(k+n-k+1)n!}{k!(n-k+1)!} \\
&= \frac{(n+1)n!}{k!(n-k+1)!} \\
&= \frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!} \\
\end{aligned}
よって(左辺) = (右辺)であり,\dbinom{n+1}{k} = \dbinom{n}{k-1} + \dbinom{n}{k}が成り立つことが示された.
数学的帰納法を用いて2項定理を証明する
2項定理
(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{k} b^{n-k}
が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する.
n=1の場合
\begin{aligned}
(左辺)
&= (a+b)^1 \\
&= a+b
\end{aligned}
\begin{aligned}
(右辺)
&= \sum_{k=0}^{1} \binom{1}{k} a^{k} b^{1-k} \\
&= \binom{1}{0} a^{0} b^{1-0} + \binom{1}{1} a^{1} b^{1-1} \\
&= b + a \\
&= a + b
\end{aligned}
(左辺)
n=tの時に成り立つと仮定したときのn=t+1の場合
\begin{aligned}
(左辺)
&= (a+b)^{t+1} \\
&= (a+b)(a+b)^t \\
&= (a+b) \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k} \\
&= \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k+1} b^{t-k} + \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\
&= \sum_{k'=1}^{t} \binom{t}{k'-1} a^{k'} b^{t-k'+1} + \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\
&= \sum_{k=1}^{t+1} \binom{t}{k-1} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\
&= a^{t+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t}{k-1} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\
&= a^{t+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t}{k-1} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k+1} + b^{t+1} \\
&= a^{t+1} + \sum_{k=1}^{t} \left( \binom{t}{k-1} + \binom{t}{k} \right) a^{k} b^{t-k+1} + b^{t+1} \\
&= a^{t+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} + b^{t+1} \\
&= \sum_{k=t+1}^{t+1} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} + b^{t+1} \\
&= \sum_{k=t+1}^{t+1} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=0}^{0} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\
&= \sum_{k=0}^{t+1} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\
&= (右辺)
\end{aligned}
よってn=tで成り立つと仮定したとき,n=t+1でも成り立つことが示された.
以上の結果より,数学的帰納法により2項定理が成り立つことが示された.
参考文献
Discussion