現代数理統計学の基礎 第3章 演習問題 問2 自作解答

2024/10/01に公開

はじめに

この記事は,現代数理統計学の基礎の第3章演習問題の問2について自作の解答を記したものです.

問題文,解答が掲載されている公式のサイトはこちらです.

解答

2項係数の関係式1

\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}が成り立つことを示す.

\begin{aligned} (左辺) &= \binom{n}{k} \\ &= \frac{n!}{k!(n-k)!} \\ \end{aligned}
\begin{aligned} (右辺) &= \binom{n}{n-k} \\ &= \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} \\ &= \frac{n!}{(n-k)!k!} \\ &= \frac{n!}{k!(n-k)!} \\ \end{aligned}

よって(左辺) = (右辺)であり,\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}が成り立つことが示された.

2項係数の関係式2

\dbinom{n+1}{k} = \dbinom{n}{k-1} + \dbinom{n}{k}が成り立つことを示す.

\begin{aligned} (左辺) &= \binom{n+1}{k} \\ &= \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} \\ &= \frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!} \\ \end{aligned}
\begin{aligned} (右辺) &= \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \\ &= \frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!} + \binom{n}{k} \\ &= \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} + \binom{n}{k} \\ &= \frac{kn!}{k!(n-k+1)!} + \binom{n}{k} \\ &= \frac{kn!}{k!(n-k+1)!} + \frac{n!}{k!(n-k)!} \\ &= \frac{kn!}{k!(n-k+1)!} + \frac{(n-k+1)n!}{k!(n-k+1)!} \\ &= \frac{kn! + (n-k+1)n!}{k!(n-k+1)!} \\ &= \frac{(k+n-k+1)n!}{k!(n-k+1)!} \\ &= \frac{(n+1)n!}{k!(n-k+1)!} \\ &= \frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!} \\ \end{aligned}

よって(左辺) = (右辺)であり,\dbinom{n+1}{k} = \dbinom{n}{k-1} + \dbinom{n}{k}が成り立つことが示された.

数学的帰納法を用いて2項定理を証明する

2項定理

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{k} b^{n-k}

が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する.

n=1の場合

\begin{aligned} (左辺) &= (a+b)^1 \\ &= a+b \end{aligned}
\begin{aligned} (右辺) &= \sum_{k=0}^{1} \binom{1}{k} a^{k} b^{1-k} \\ &= \binom{1}{0} a^{0} b^{1-0} + \binom{1}{1} a^{1} b^{1-1} \\ &= b + a \\ &= a + b \end{aligned} (左辺)

n=tの時に成り立つと仮定したときのn=t+1の場合

\begin{aligned} (左辺) &= (a+b)^{t+1} \\ &= (a+b)(a+b)^t \\ &= (a+b) \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k} \\ &= \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k+1} b^{t-k} + \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\ &= \sum_{k'=1}^{t} \binom{t}{k'-1} a^{k'} b^{t-k'+1} + \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\ &= \sum_{k=1}^{t+1} \binom{t}{k-1} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\ &= a^{t+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t}{k-1} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=0}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\ &= a^{t+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t}{k-1} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t}{k} a^{k} b^{t-k+1} + b^{t+1} \\ &= a^{t+1} + \sum_{k=1}^{t} \left( \binom{t}{k-1} + \binom{t}{k} \right) a^{k} b^{t-k+1} + b^{t+1} \\ &= a^{t+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} + b^{t+1} \\ &= \sum_{k=t+1}^{t+1} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} + b^{t+1} \\ &= \sum_{k=t+1}^{t+1} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=1}^{t} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} + \sum_{k=0}^{0} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\ &= \sum_{k=0}^{t+1} \binom{t+1}{k} a^{k} b^{t-k+1} \\ &= (右辺) \end{aligned}

よってn=tで成り立つと仮定したとき,n=t+1でも成り立つことが示された.

以上の結果より,数学的帰納法により2項定理が成り立つことが示された.

参考文献

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