現代数理統計学の基礎 第3章 演習問題 問1 自作解答

はじめに

この記事は，現代数理統計学の基礎の第3章演習問題の問1について自作の解答を記したものです．

問題文，解答が掲載されている公式のサイトはこちらです．

解答

確率母関数の定義より，

$$\begin{aligned} G_X(t) &= E[t^X] \\ \end{aligned}$$

であり，離散一様分布の確率関数は

$$P(X=x | N) = \frac{1}{N} \quad (x=1,2,\ldots,N)$$

である．
よって一様分布の確率母関数は，

$$\begin{aligned} G_X(t) &= \sum_{x=1}^{N} t^x P(X=x|N) \\ &= \sum_{x=1}^{N} t^x \frac{1}{N} \\ &= \frac{1}{N} \sum_{x=1}^{N} t^x \\ \end{aligned}$$

である．

平均と分散を確率母関数から求めるにはそれぞれ

$$\begin{aligned} E[X] &= G_X'(1) \\ \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} V[X] &= E[X(X-1)] + E[X] - E[X]^2 \\ &= G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 \\ \end{aligned}$$

と求めればよく，

$$G_X'(t) = \frac{1}{N} \sum_{x=1}^{N} x t^{x-1} \\ G_X''(t) = \frac{1}{N} \sum_{x=1}^{N} x(x-1) t^{x-2}$$

より，

$$\begin{aligned} G_X'(1) &= \frac{1}{N} \sum_{x=1}^{N} x \\ &= \frac{1}{N} \frac{N(N+1)}{2} \\ &= \frac{N+1}{2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} G_X''(1) &= \frac{1}{N} \sum_{x=1}^{N} x(x-1) \\ &= \frac{1}{N} \left( \sum_{x=1}^{N} x^2 -\sum_{x=1}^{N} x \right) \\ &= \frac{1}{N} \left( \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} - \frac{N(N+1)}{2} \right) \\ &= \frac{(N+1)(2N+1)}{6} - \frac{N+1}{2} \\ &= \frac{N+1}{6} ((2N+1)-3) \\ &= \frac{N+1}{6} (2N-2) \\ &= \frac{(N+1)(N-1)}{3} \end{aligned}$$

であるから，

$$\begin{aligned} E[X] &= \frac{N+1}{2} \\ \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} V[X] &= \frac{(N+1)(N-1)}{3} + \frac{N+1}{2} - \left( \frac{N+1}{2} \right)^2 \\ &= \frac{(N+1)(N-1)}{3} + \frac{N+1}{2} - \frac{(N+1)^2}{4} \\ &= \frac{N+1}{12} \left( 4(N-1) + 6 - 3(N+1) \right) \\ &= \frac{N+1}{12} (4N-4+6-3N-3) \\ &= \frac{N+1}{12} (N-1) \\ &= \frac{(N+1)(N-1)}{12} \end{aligned}$$

となる．

参考文献

• 現代数理統計学の基礎 共立出版