はじめに
この記事は,現代数理統計学の基礎の第3章演習問題の問1について自作の解答を記したものです.
問題文,解答が掲載されている公式のサイトはこちらです.
解答
確率母関数の定義より,
\begin{aligned}
G_X(t) &= E[t^X] \\
\end{aligned}
であり,離散一様分布の確率関数は
P(X=x | N) = \frac{1}{N} \quad (x=1,2,\ldots,N)
である.
よって一様分布の確率母関数は,
\begin{aligned}
G_X(t) &= \sum_{x=1}^{N} t^x P(X=x|N) \\
&= \sum_{x=1}^{N} t^x \frac{1}{N} \\
&= \frac{1}{N} \sum_{x=1}^{N} t^x \\
\end{aligned}
である.
平均と分散を確率母関数から求めるにはそれぞれ
\begin{aligned}
E[X] &= G_X'(1) \\
\end{aligned}
\begin{aligned}
V[X] &= E[X(X-1)] + E[X] - E[X]^2 \\
&= G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2 \\
\end{aligned}
と求めればよく,
G_X'(t) = \frac{1}{N} \sum_{x=1}^{N} x t^{x-1} \\
G_X''(t) = \frac{1}{N} \sum_{x=1}^{N} x(x-1) t^{x-2}
より,
\begin{aligned}
G_X'(1)
&= \frac{1}{N} \sum_{x=1}^{N} x \\
&= \frac{1}{N} \frac{N(N+1)}{2} \\
&= \frac{N+1}{2}
\end{aligned}
\begin{aligned}
G_X''(1)
&= \frac{1}{N} \sum_{x=1}^{N} x(x-1) \\
&= \frac{1}{N} \left( \sum_{x=1}^{N} x^2 -\sum_{x=1}^{N} x \right) \\
&= \frac{1}{N} \left( \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} - \frac{N(N+1)}{2} \right) \\
&= \frac{(N+1)(2N+1)}{6} - \frac{N+1}{2} \\
&= \frac{N+1}{6} ((2N+1)-3) \\
&= \frac{N+1}{6} (2N-2) \\
&= \frac{(N+1)(N-1)}{3}
\end{aligned}
であるから,
\begin{aligned}
E[X] &= \frac{N+1}{2} \\
\end{aligned}
\begin{aligned}
V[X] &= \frac{(N+1)(N-1)}{3} + \frac{N+1}{2} - \left( \frac{N+1}{2} \right)^2 \\
&= \frac{(N+1)(N-1)}{3} + \frac{N+1}{2} - \frac{(N+1)^2}{4} \\
&= \frac{N+1}{12} \left( 4(N-1) + 6 - 3(N+1) \right) \\
&= \frac{N+1}{12} (4N-4+6-3N-3) \\
&= \frac{N+1}{12} (N-1) \\
&= \frac{(N+1)(N-1)}{12}
\end{aligned}
となる.
参考文献
Discussion