現代数理統計学の基礎 第2章 演習問題 問4 自作解答

はじめに

この記事は，現代数理統計学の基礎の第2章演習問題の問4について自作の解答を記したものです．

問題文，解答が掲載されている公式のサイトはこちらです．

解答

$E[(X-t)^2]$を最小にする$t$の値

$$\begin{aligned} E[(X-t)^2] &= E[X^2 -2tX + t^2] \\ &= E[X^2] - E[2tX] + E[t^2] \\ &= E[X^2] - 2tE[X] + t^2 \end{aligned}$$

これを$t$の式と見ると，$t$に関する2次関数であり

$$\begin{aligned} E[X^2] - 2tE[X] + t^2 &= t^2 - 2E[X] t + E[X^2] \\ &= t^2 - 2E[X] t + E[X]^2 - E[X]^2 + E[X^2] \\ &= (t - E[X])^2 - E[X]^2 + E[X^2] \\ &= (t - E[X])^2 + E[X^2] - E[X]^2 \\ &= (t - E[X])^2 + V[X] \end{aligned}$$

よって，$t=E[X]$のときに最小となる．

$E[|X-t|]$を最小にする$t$の値

$$\begin{aligned} E[|X-t|] &= \int_{-\infty}^{\infty} |x-t| f_X(x) dx \\ &= \int_{-\infty}^{t} -(x-t) f_X(x) dx + \int_{t}^{\infty} (x-t) f_X(x) dx \\ &= \int_{-\infty}^{t} -x f_X(x) dx + \int_{-\infty}^{t} t f_X(x) dx + \int_{t}^{\infty} x f_X(x) dx + \int_{t}^{\infty} -t f_X(x) dx\\ &= -\int_{-\infty}^{t} x f_X(x) dx + t\int_{-\infty}^{t} f_X(x) dx + \int_{t}^{\infty} x f_X(x) dx -t\int_{t}^{\infty} f_X(x) dx\\ &= -\int_{-\infty}^{t} x f_X(x) dx + \int_{t}^{\infty} x f_X(x) dx + t\left( \int_{-\infty}^{t} f_X(x) dx -\int_{t}^{\infty} f_X(x) dx \right) \\ &= - \int_{-\infty}^{t} x f_X(x) dx + \left( \int_{-\infty}^{t} x f_X(x) dx - \int_{-\infty}^{t} x f_X(x) dx \right) + \int_{t}^{\infty} x f_X(x) dx + t\left( \int_{-\infty}^{t} f_X(x) dx -\int_{t}^{\infty} f_X(x) dx \right) \\ &= -2\int_{-\infty}^{t} x f_X(x) dx + \int_{-\infty}^{t} x f_X(x) dx + \int_{t}^{\infty} x f_X(x) dx + t\left( \int_{-\infty}^{t} f_X(x) dx -\int_{t}^{\infty} f_X(x) dx \right) \\ &= -2\int_{-\infty}^{t} x f_X(x) dx + E[X] + t\left( \int_{-\infty}^{t} f_X(x) dx -\int_{t}^{\infty} f_X(x) dx \right) \\ &= -2\int_{-\infty}^{t} x f_X(x) dx + E[X] + t\left( \int_{-\infty}^{t} f_X(x) dx -\int_{t}^{\infty} f_X(x) dx + \left( \int_{-\infty}^{t} f_X(x) dx -\int_{-\infty}^{t} f_X(x) dx \right) \right) \\ &= -2\int_{-\infty}^{t} x f_X(x) dx + E[X] + t\left( 2\int_{-\infty}^{t} f_X(x) dx - \left( \int_{-\infty}^{t} f_X(x) dx + \int_{t}^{\infty} f_X(x) dx \right) \right) \\ &= -2\int_{-\infty}^{t} x f_X(x) dx + E[X] + t\left( 2\int_{-\infty}^{t} f_X(x) dx - 1 \right) \\ \end{aligned}$$

これの最小値を求めるために，$t$で微分する．

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt} E[|X-t|] &= \frac{d}{dt} \left( -2\int_{-\infty}^{t} x f_X(x) dx + E[X] + t\left( 2\int_{-\infty}^{t} f_X(x) dx - 1 \right) \right) \\ &= -2 t f_X(t) + \left( 2\int_{-\infty}^{t} f_X(x) dx - 1 \right) + t \left( 2 f_X(t) \right) \\ &= 2\int_{-\infty}^{t} f_X(x) dx - 1 \end{aligned}$$

この値が0になるのは

$$\begin{aligned} 2\int_{-\infty}^{t} f_X(x) dx - 1 &= 0 \\ \int_{-\infty}^{t} f_X(x) dx &= \frac{1}{2} \\ \end{aligned}$$

のときである．

よって，$t$が　$\int_{-\infty}^{t} f_X(x) dx = \dfrac{1}{2}$を満たす値のとき最小となる．

参考文献

• 現代数理統計学の基礎 共立出版