はじめに
この記事は，現代数理統計学の基礎の第1章演習問題の問4について自作の解答を記したものです．
問題文，解答が掲載されている公式のサイトはこちらです．
解答
(1)
１回サイコロを投げることを考え，A, Bの事象を次のように考える．
※ A, Bのために計2回投げるわけではない．
\begin{aligned}
A &= \{1\} \\
B &= \{1, 2\}
\end{aligned}
このとき
\begin{aligned}
(左辺)
&= P(A|B^c) \\
&= \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)} \\
&= \frac{P(\{\})}{P(\{3,4,5,6\})} \\
&= 0
\end{aligned}
\begin{aligned}
(右辺)
&= 1 - P(A|B) \\
&= 1 - \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\
&= 1 - \frac{P(\{1\})}{P(\{1,2\})} \\
&= 1 - \frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{6}} \\
&= 1 - \frac{1}{2} \\
&= \frac{1}{2}
\end{aligned}
よって成り立たない例であることがわかる．
(2)
１回サイコロを投げることを考え，A, B, Cの事象を次のように考える．
※ A, B, Cのために計3回投げるわけではない．
\begin{aligned}
A &= \{1\} \\
B &= \{1\} \\
C &= \{1, 2\}
\end{aligned}
このとき
\begin{aligned}
(左辺)
&= P(C|A \cup B) \\
&= \frac{P(C \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} \\
&= \frac{P(\{1\})}{P(\{1\})} \\
&= 1
\end{aligned}
\begin{aligned}
(右辺)
&= P(C|A) + P(C|B) \\
&= \frac{P(C \cap A)}{P(A)} + \frac{P(C \cap B)}{P(B)} \\
&= \frac{P(\{1\})}{P(\{1\})} + \frac{P(\{1\})}{P(\{1\})} \\
&= 1 + 1 \\
&= 2
\end{aligned}
よって成り立たない例であることがわかる．
参考文献
Discussion