現代数理統計学の基礎 第1章 演習問題 問3 自作解答

はじめに

この記事は，現代数理統計学の基礎の第1章演習問題の問3について自作の解答を記したものです．

問題文，解答が掲載されている公式のサイトはこちらです．

解答

条件付き確率の定義より

$$\begin{aligned} P(A|B) &= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ P(A \cap B) &= P(A|B)P(B) \\ \end{aligned}$$

が成り立つ．

これは$k$を用いて

$$\begin{aligned} P(A_1 \cap \cdots A_{k-1} \cap A_k) &= P(A_k|A_1 \cap \cdots \cap A_{k-1})P(A_1 \cap \cdots \cap A_{k-1}) \\ \end{aligned}$$

と書くことができる．

この$k$を$n$から$2$まで$1$ずつ変化させながら適用すると，

$$\begin{aligned} P(A_1 \cap \cdots \cap A_n) &= P(A_n|A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1})P(A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}) \\ &= P(A_n|A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1})P(A_{n-1}|A_1 \cap \cdots \cap A_{n-2})P(A_1 \cap \cdots \cap A_{n-2}) \\ &= \cdots \\ &= P(A_n|A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1})P(A_{n-1}|A_1 \cap \cdots \cap A_{n-2}) \cdots P(A_2|A_1)P(A_1) \\ \end{aligned}$$

となることが分かる．

参考文献

• 久保川 達也．現代数理統計学の基礎．共立出版．