現代数理統計学の基礎 第1章 演習問題 問2 自作解答

はじめに

この記事は，現代数理統計学の基礎の第1章演習問題の問2について自作の解答を記したものです．

問題文，解答が掲載されている公式のサイトはこちらです．

解答

左辺を式変形し右辺を導くことで示す．

$$\begin{aligned} P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) &= P(A_1) + P(A_2 \cup A_3) - P(A_1 \cap (A_2 \cup A_3)) \\ &= P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_2 \cap A_3) - P(A_1 \cap (A_2 \cup A_3)) \\ &= P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_2 \cap A_3) - P((A_1 \cap A_2) \cup (A_1 \cap A_3)) \\ &= P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_2 \cap A_3) - ( P(A_1 \cap A_2) + P(A_1 \cap A_3) - P((A_1 \cap A_2) \cap (A_1 \cap A_3))) \\ &= P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_2 \cap A_3) - P(A_1 \cap A_2) - P(A_1 \cap A_3) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) \\ &= P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_1 \cap A_2) - P(A_2 \cap A_3) - P(A_3 \cap A_1) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) \\ \end{aligned}$$

よって示された．

参考文献

• 久保川 達也．現代数理統計学の基礎．共立出版．