はじめに
この記事は,現代数理統計学の基礎の第1章演習問題の問1について自作の解答を記したものです.
問題文,解答が掲載されている公式のサイトはこちらです.
解答
\begin{aligned}
A \varDelta B
&= (A \backslash B) \cup (B \backslash A) \\
&= (A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) \\
\end{aligned}
\begin{aligned}
A^c \varDelta B^c
&= (A^c \backslash B^c) \cup (B^c \backslash A^c) \\
&= (A^c \cap B) \cup (B^c \cap A) \\
&= (B \cap A^c) \cup (A \cap B^c) \\
&= (A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) \\
\end{aligned}
よって,A \varDelta B = A^c \varDelta B^cが成り立つ.
\begin{aligned}
A \varDelta B
&= (A \backslash B) \cup (B \backslash A) \\
&= (A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) \\
&= ((A \cap B^c) \cup (A \cap A^c)) \cup ((B \cap A^c) \cup (B \cap B^c)) \\
&= (A \cap (B^c \cup A^c)) \cup (B \cap (A^c \cup B^c)) \\
&= (A \cap (A^c \cup B^c)) \cup (B \cap (A^c \cup B^c)) \\
&= (A \cup B) \cap (A^c \cup B^c) \\
&= (A \cup B) \cap (A \cap B)^c \\
&= (A \cup B) \backslash (A \cap B) \\
\end{aligned}
よって,A \varDelta B = (A \cup B) \backslash (A \cap B)が成り立つ.
以上より
A \varDelta B
= A^c \varDelta B^c
= (A \cup B) \backslash (A \cap B)
が成り立つ.
確率については,
\begin{aligned}
P(A \varDelta B)
&= P((A \cup B) \backslash (A \cap B)) \\
&= P(A \cup B) - P(A \cap B) \\
&= P(A) + P(B) - P(A \cap B) - P(A \cap B) \\
&= P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) \\
\end{aligned}
となる.
参考文献
Discussion