現代数理統計学の基礎 第1章 演習問題 問1 自作解答

はじめに

この記事は，現代数理統計学の基礎の第1章演習問題の問1について自作の解答を記したものです．

問題文，解答が掲載されている公式のサイトはこちらです．

解答

$$\begin{aligned} A \varDelta B &= (A \backslash B) \cup (B \backslash A) \\ &= (A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) \\ \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} A^c \varDelta B^c &= (A^c \backslash B^c) \cup (B^c \backslash A^c) \\ &= (A^c \cap B) \cup (B^c \cap A) \\ &= (B \cap A^c) \cup (A \cap B^c) \\ &= (A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) \\ \end{aligned}$$

よって，$A \varDelta B = A^c \varDelta B^c$が成り立つ．

$$\begin{aligned} A \varDelta B &= (A \backslash B) \cup (B \backslash A) \\ &= (A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) \\ &= ((A \cap B^c) \cup (A \cap A^c)) \cup ((B \cap A^c) \cup (B \cap B^c)) \\ &= (A \cap (B^c \cup A^c)) \cup (B \cap (A^c \cup B^c)) \\ &= (A \cap (A^c \cup B^c)) \cup (B \cap (A^c \cup B^c)) \\ &= (A \cup B) \cap (A^c \cup B^c) \\ &= (A \cup B) \cap (A \cap B)^c \\ &= (A \cup B) \backslash (A \cap B) \\ \end{aligned}$$

よって，$A \varDelta B = (A \cup B) \backslash (A \cap B)$が成り立つ．

以上より

$$A \varDelta B = A^c \varDelta B^c = (A \cup B) \backslash (A \cap B)$$

が成り立つ．

確率については，

$$\begin{aligned} P(A \varDelta B) &= P((A \cup B) \backslash (A \cap B)) \\ &= P(A \cup B) - P(A \cap B) \\ &= P(A) + P(B) - P(A \cap B) - P(A \cap B) \\ &= P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) \\ \end{aligned}$$

となる．

参考文献

• 現代数理統計学の基礎 共立出版