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現代数理統計学の基礎 第1章 演習問題 問1 自作解答

2024/10/01に公開

はじめに

この記事は,現代数理統計学の基礎の第1章演習問題の問1について自作の解答を記したものです.

問題文,解答が掲載されている公式のサイトはこちらです.

解答

\begin{aligned} A \varDelta B &= (A \backslash B) \cup (B \backslash A) \\ &= (A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) \\ \end{aligned}
\begin{aligned} A^c \varDelta B^c &= (A^c \backslash B^c) \cup (B^c \backslash A^c) \\ &= (A^c \cap B) \cup (B^c \cap A) \\ &= (B \cap A^c) \cup (A \cap B^c) \\ &= (A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) \\ \end{aligned}

よって,A \varDelta B = A^c \varDelta B^cが成り立つ.

\begin{aligned} A \varDelta B &= (A \backslash B) \cup (B \backslash A) \\ &= (A \cap B^c) \cup (B \cap A^c) \\ &= ((A \cap B^c) \cup (A \cap A^c)) \cup ((B \cap A^c) \cup (B \cap B^c)) \\ &= (A \cap (B^c \cup A^c)) \cup (B \cap (A^c \cup B^c)) \\ &= (A \cap (A^c \cup B^c)) \cup (B \cap (A^c \cup B^c)) \\ &= (A \cup B) \cap (A^c \cup B^c) \\ &= (A \cup B) \cap (A \cap B)^c \\ &= (A \cup B) \backslash (A \cap B) \\ \end{aligned}

よって,A \varDelta B = (A \cup B) \backslash (A \cap B)が成り立つ.

以上より

A \varDelta B = A^c \varDelta B^c = (A \cup B) \backslash (A \cap B)

が成り立つ.

確率については,

\begin{aligned} P(A \varDelta B) &= P((A \cup B) \backslash (A \cap B)) \\ &= P(A \cup B) - P(A \cap B) \\ &= P(A) + P(B) - P(A \cap B) - P(A \cap B) \\ &= P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) \\ \end{aligned}

となる.

参考文献

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