【Python】浮動小数点の計算による誤差とnumpy.allcloseを用いた誤差を考慮した配列比較
はじめに
浮動小数点の計算では誤差が生じることがあります．
そのため，同じ値に見えても，プログラム上では等しくないものとして扱われることがあります．具体的な例は以下です
import numpy as np
array1 = np.array([0.1 + 0.2, 0.3 + 0.3])
array2 = np.array([0.3, 0.6])
print(array1 == array2)
## 出力
# [False True]
どちらのarrayも1つ目の要素が
このような誤差を考慮し，浮動小数点を含む配列同士の比較を行う方法として，numpyのallclose関数があります．
この関数は指定した誤差を許容して配列を比較できます．
numpyのallclose関数と使い方
numpy.allclose関数は2つの配列の各要素が許容範囲内で等しい場合にTrueを返します．
具体的には以下のように使用します．
import numpy as np
a = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
b = np.array([0.1, 0.1 + 0.1, 0.1 + 0.2])
result = np.allclose(a, b)
print(result)
## 出力
# True
allclose関数は次のような引数を持ちます.
numpy.allclose(a, b, atol=1e-8, rtol=1e-5, equal_nan=False)
-
a: 比較する配列1 -
b: 比較する配列2 -
atol: 許容される絶対誤差 (デフォルトは1e-8) -
rtol: 許容される相対誤差 (デフォルトは1e-5) -
equal_nan:Trueの場合，NaNを等しいとみなす (デフォルトはFalse)
Trueを返す条件は，各要素に対して次の条件が成り立つ場合です．
absolute(a - b) <= (atol + rtol * absolute(b))
ここから分かる通り，allclose(a, b) と allclose(b, a) が異なる結果を返す場合があります．
無理やり例を作るとすると，次のような場合です．
a = np.array([1.0])
b = np.array([2.0])
print(np.allclose(a, b, atol=0, rtol=0.5))
print(np.allclose(b, a, atol=0, rtol=0.5))
## 出力
# True
# False
使用する場合は，atolとrtolの値を適切に設定することが重要です．
パラメータequal_nanについてはNaN同士を等しいとみなすかどうかを指定する引数です．デフォルトではFalseであり，NaN同士は等しくないと判定されます．
import math
import numpy as np
nan_array_1 = np.array([math.nan, math.nan, np.nan, np.nan])
nan_array_2 = np.array([math.nan, np.nan, math.nan, np.nan])
print(np.allclose(nan_array_1, nan_array_2))
print(np.allclose(nan_array_1, nan_array_2, equal_nan=True))
## 出力
# False
# True
差を調べるために使うときは誤差に注意すること
allclose関数の性質より，2つの配列の各要素間の差が許容範囲内かどうかを判定することに使いたいと考えるかもしれません．このときに，誤差の存在を忘れないことが重要です．以下に具体例として，2つの配列の各要素の差が0.01以下か調べたい場合に，誤差により結果に差が生じる例を示します．
# 差は0.01以下
a_0 = np.array([0.008, 0.009, 0.010])
b_0 = np.array([0.000, 0.000, 0.000])
# こちらも差は0.01以下
a_1 = np.array([1.008, 1.009, 1.010])
b_1 = np.array([1.000, 1.000, 1.000])
# 絶対誤差0.01以下まで許容する
print(np.allclose(a_0, b_0, atol=0.01, rtol=0))
print(np.allclose(a_1, b_1, atol=0.01, rtol=0))
## 出力
# True
# False
このようになる理由は
print(1.010 - 1.000)
print((1.010 - 1.000) <= 0.01)
## 出力
# 0.010000000000000009
# False
allclose関数を使用する上では
- 許容する誤差には余裕を持たせる
- 誤差について適切に考慮する
ことが重要です．
差の比較例
上で上げた例の続きとして，差が0.01以下であるかを誤差を考量して確認する方法の一例を示します．差を取り，不要な桁の切り捨てを行うと，誤差を考慮した比較が可能です．
# 差は0.01以下
a_0 = np.array([0.008, 0.009, 0.010])
b_0 = np.array([0.000, 0.000, 0.000])
# 差の配列
c_0 = a_0 - b_0
# 小数第3位を切り捨て
d_0 = np.trunc(c_0 * 100) / 100
# こちらも差は0.01以下
a_1 = np.array([1.008, 1.009, 1.010])
b_1 = np.array([1.000, 1.000, 1.000])
c_1 = a_1 - b_1
d_1 = np.trunc(c_1 * 100) / 100
# 絶対誤差0.01以下まで許容する
print("差をとったものに対して確認")
print(np.all(c_0 <= 0.01))
print(np.all(c_1 <= 0.01))
print("切り捨てたものに対して確認")
print(np.all(d_0 <= 0.01))
print(np.all(d_1 <= 0.01))
## 出力
# 差をとったものに対して確認
# True
# False
# 切り捨てたものに対して確認
# True
# True
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