【3D数学】クォータニオンによる回転の導出

クォータニオンによる回転表現

軸$\bm{n}$($|\bm{n}|=1$)の周りで、ベクトル$\bm{p}$を角度$\theta$だけ回転する操作を、クォータニオンを用いて表す。

クォータニオン$\bm{q} := (w \, \bm{v})$を、$w:=\cos{\theta/2}$,$\bm{v}:=(n_x \sin{\theta/2},n_y \sin{\theta/2},n_z \sin{\theta/2})$とし、クォータニオン$\bm{p}$を$\bm{p}:=(0\, \bm{p})$とする。
このとき、上述の回転操作は、回転後のクォータニオンを$\bm{p'}$とすると、

$$\bm{p'} = \bm{q}\bm{p}\bm{q^{-1}}$$

と書くことができる。

導出の方針

1. ロドリゲスの回転の公式を導出
2. 愚直に$\bm{q}\bm{p}\bm{q^{-1}}$を展開

導出に必要な知識

前準備：クォータニオンの積

前準備：ロドリゲスの回転の公式

導出

スカラー三重積、ベクトル三重積、倍角の公式を使う。この辺は証明略。