【3D数学】クォータニオンによる回転の導出

クォータニオンによる回転表現

軸$n\bm{n}$($∣n∣=1|\bm{n}|=1$)の周りで、ベクトル$p\bm{p}$を角度$θ\theta$だけ回転する操作を、クォータニオンを用いて表す。

クォータニオン$q:=(w v)\bm{q} := (w \, \bm{v})$を、$w:=cos⁡θ/2w:=\cos{\theta/2}$,$v:=(nxsin⁡θ/2,nysin⁡θ/2,nzsin⁡θ/2)\bm{v}:=(n_x \sin{\theta/2},n_y \sin{\theta/2},n_z \sin{\theta/2})$とし、クォータニオン$p\bm{p}$を$p:=(0 p)\bm{p}:=(0\, \bm{p})$とする。
このとき、上述の回転操作は、回転後のクォータニオンを$p′\bm{p'}$とすると、

$$p′=qpq−1\bm{p'} = \bm{q}\bm{p}\bm{q^{-1}}$$

と書くことができる。

導出の方針

1. ロドリゲスの回転の公式を導出
2. 愚直に$qpq−1\bm{q}\bm{p}\bm{q^{-1}}$を展開

導出に必要な知識

前準備：クォータニオンの積

前準備：ロドリゲスの回転の公式

導出

スカラー三重積、ベクトル三重積、倍角の公式を使う。この辺は証明略。