フェルマーの原理を用いた光線方程式の導出

はじめに

これは，私が光線方程式の導出ができるようにするための忘備録である．実際，フェルマーの原理を用いた光線方程式の導出がなされているサイトはあるが，理路を詳らかにしているものが少ない．そのため，優しく導出をしていくこととした．

線積分

線積分とは，曲線に沿って評価された関数の値についての積分の総称である．位置ベクトルを$\bm{r}$として，$ds$を$d \bm{r}$ベクトルの大きさとして，曲線について，

$$%\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \dfrac{k}{n} \right) \\ \\ \int_C f(x,y,z) ds$$

と求めることができる．

フェルマーの原理

フェルマーの原理とは, 2点を結ぶ光が進む道のりはその光学距離を極小にするという原理である.
つまり

$$L = \int_C n(x,y,z) ds$$

が極小（最小）を取るような経路を光は進むということである．

光線方程式の導出

連続的に屈折率が変わる場合，つまり，屈折率が$n(x,y,z) = n (\bm{r})$で表されるような場合を考えてみる．終端A,Bの位置は固定されているとして，光路長の長さ$L$は

$$L = \int_C n(\bm{r}) ds$$

となる．位置ベクトル$\bm{r}$から，$\delta \bm{r}$だけずれたとき

$$\delta L = \int_C \delta (n(\bm{r})ds) = \int_C \left\{ \delta n(\bm{r})ds + n(\bm{r}) \delta ds \right\} = \int_C \delta n(\bm{r})ds + \int_C n(\bm{r}) \delta ds$$

となる．

この変形は，積の微分

$$\left\{ f(x)g(x) \right\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

として考えることができる．今回では，

$$\begin{align*} f(x) &= n(\bm{r}) & g(x) &= ds \end{align*}$$

として，微分を考えると，

$$\delta (n(\bm{r})ds) = \delta n(\bm{r})ds + n(\bm{r}) \delta ds$$

とわかる．

$\int_C \delta n(\bm{r})ds$の積分

ここで，

$$\delta n(\bm{r}) = n(\bm{r} + \delta \bm{r}) - n(\bm{r}) = \dfrac{\partial n}{\partial \bm{r}} \delta \bm{r} = \nabla \cdot n(\bm{r}) \delta \bm{r}$$

微分の定義を考えてみると

$$\dfrac{\partial n}{\partial \bm{r}} \cong \dfrac{ n(\bm{r} + \delta \bm{r}) - n(\bm{r}) }{\delta \bm{r}}$$

であるから

$$\dfrac{\partial n}{\partial \bm{r}} \delta \bm{r} \cong n(\bm{r} + \delta \bm{r}) - n(\bm{r})$$

$$\dfrac{\partial}{\partial \bm{r}}$$

の計算は，成分ごとに考えてみると

$$\dfrac{\partial}{\partial x} \bm{e_x} + \dfrac{\partial}{\partial x} \bm{e_x} + \dfrac{\partial}{\partial x} \bm{e_x}$$

ということを表しており，$\nabla$を用いた $\mathrm{gradient}$（勾配）の計算と等しくなる！！

そのため，

$$\delta n (\bm{r}) ds = \nabla \cdot n (\bm{r}) \delta \bm{r}\$$

$\int_C n(\bm{r}) \delta ds$の積分

ここで，$ds = |d \bm{r}|$であるから，

$$ds^2 = |d \bm{r}|^2 = d \bm{r} \cdot d \bm{r}$$

そのため，

$$\delta (ds^2) = 2 ds (\delta ds) = 2 \delta ds ds$$

これは，$f(x) = x^2$の微分を考えると

$$f'(x) = 2x dx$$

となることと同等で，$x = ds$とすると

$$f'(ds) = (ds^2)' = 2ds(\delta ds)= 2\delta dsds$$

となる．

また，

$$\delta (d \bm{r} \cdot d \bm{r}) = \delta d \bm{r} \cdot d \bm{r} + d \bm{r} \cdot \delta d \bm{r} = 2\delta d \bm{r} \cdot d \bm{r}$$

ベクトルの内積の微分を考えると，

$$\delta \left( \bm{A} \cdot \bm{B} \right) = \delta \bm{A} \cdot \bm{B} + \bm{A} \cdot \delta \bm{B}$$

と表される．

(2.1)より，$\delta (ds^2) = \delta d\bm{r} \cdot d\bm{r}$であるから

$$\begin{aligned} 2 \delta ds ds &= 2 \delta d \bm{r} \cdot d \bm{r}\\ \delta ds ds &= d \bm{r} \cdot \delta d \bm{r} \\ \delta ds &= \dfrac{d \bm{r}}{ds} \cdot \delta d \bm{r}\\ \delta ds &= \dfrac{d \bm{r}}{ds} \cdot d \delta \bm{r} \end{aligned}$$

したがって

$$\begin{aligned} \delta L &= \int_C \delta n(\bm{r})ds + \int_C n(\bm{r}) \delta ds\\ &= \int_C \nabla \cdot n(\bm{r}) \delta \bm{r} ds + \int_C n(\bm{r}) \dfrac{d \bm{r}}{ds} d \delta \bm{r}\\ &= \int_C \nabla \cdot n(\bm{r}) \delta \bm{r} ds + \int_C n(\bm{r}) \dfrac{d \bm{r}}{ds} \dfrac{d \delta \bm{r}}{ds} ds\\ &= \int_C \nabla \cdot n(\bm{r}) \delta \bm{r} ds + \int_C n(\bm{r}) \dfrac{d \bm{r}}{ds} (\delta \bm{r})' ds\\ &= \int_C \nabla \cdot n(\bm{r}) \delta \bm{r} ds + \left[ n(\bm{r}) \dfrac{d \bm{r}}{ds}(\delta \bm{r}) \right]^B_A - \int_C \dfrac{d}{ds} \left\{ n(\bm{r}) \dfrac{d \bm{r}}{ds} \right\} \delta \bm{r} ds\\ &=\int_c \left[\nabla \cdot n(\bm{r}) - \dfrac{d}{ds} \left\{ n(\bm{r}) \dfrac{d \bm{r}}{ds} \right\} \right]\delta \bm{r} ds \end{aligned}$$

フェルマーの原理より，$L$が極小をとるとき，$\delta L = 0$であるから

$$\nabla n(\bm{r}) - \dfrac{d}{ds} \left\{ n(\bm{r}) \dfrac{d \bm{r}}{ds} \right\} = 0$$

これが，光線方程式である．

実践問題

https://mamekebi-science.com/physics/analyticalmechanics/variations-fermat/#_x

光が($0$，$0$)で入射し，入射したときの傾きが$y'(0) = 1$であったとする．屈折率が$n(x) = \sqrt{1 + \dfrac{x}{2}}$のとき，光の経路を求めよ．

屈折率$n$は$x$のみに依存するため，勾配$\nabla \cdot n$を考えてみると，

$$\dfrac{\partial n}{\partial x} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{2\sqrt{1 + \dfrac{x}{2}}} = \dfrac{1}{4\sqrt{1 + \dfrac{x}{2}}} = \dfrac{1}{4n}\\$$

$$\dfrac{\partial n}{\partial y} = 0$$

ここで，$ds = \sqrt{1 + \left(\dfrac{dy}{dx} \right)^2}$と表せるため，光線の$y$成分を考えてみると

$$\begin{aligned} 0- \dfrac{d}{ds} \left( n \dfrac{d y}{ds} \right) &= 0\\ \dfrac{d}{ds} \left( n \dfrac{d y}{ds} \right) &= 0\\ n \dfrac{d y}{ds} &= C\\ \end{aligned}$$

$ds$は，$d\bm{r}$の大きさであるので

$$ds =\sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} =\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}dx = \sqrt{1+y'^2}dx$$

と表すことができる．そのため，