概要
等方超弾性体を実装しようとしていて，個人的に躓いたポイントをまとめます．まずは，ベクトルとテンソルについて軽く復習し，その後，等方超弾性体の構成則を導出します．
ベクトルとテンソル
ベクトル
ここでは，ベクトルについて復習する．任意のベクトル \mathbf{v} は正規直交基底 [\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3] の一次結合として，
\mathbf{v} = v_i \mathbf{e}_i
と表させる．ここでは，指標iに関して総和規約を用いている．以後，i, j, kなどの指標について総和規約を用いるものとする．
2つのベクトル \mathbf{u} と \mathbf{v} の内積は
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_i\mathbf{e}_i\cdot v_j\mathbf{e}_j = u_i v_j \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j = u_i v_j \delta_{ij} = u_i v_i
と表される．ここで
\delta_{ij} =
\begin{cases}
1 & (i = j) \\
0 & (i \neq j)
\end{cases}
はクロネッカーのデルタと呼ばれる．
テンソル
ここでは，主に2階のテンソルについて復習する．2つのベクトル \mathbf{u} と \mathbf{v} から2階のテンソルを作る演算をテンソル積といい，\mathbf{u}\otimes\mathbf{v} と表す．このテンソル積にあるベクトル \mathbf{w} を作用させると，以下のように別のベクトル \mathbf{z} に変換される．
\mathbf{z} = (\mathbf{u}\otimes\mathbf{v})\mathbf{w} = (\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})\mathbf{u}
上式の \mathbf{u}，\mathbf{v}，\mathbf{w} に正規直交基底 \mathbf{e} を代入すると，
(\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j)\mathbf{e}_k = (\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_k)\mathbf{e}_i = \delta_{jk}\mathbf{e}_i
が得られる．ここで，\mathbf{e}_i などを代入しているのは，3つのうちのどの基底を取ってもよいため，仮にある基底 \mathbf{e}_i を取ったというだけである．
2つのテンソル積の積は次のように定義される．
(\mathbf{u}\otimes\mathbf{v})(\mathbf{w}\otimes\mathbf{z}) = (\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})\mathbf{u}\otimes\mathbf{z}
先ほどと同様に正規直交基底を代入すると，
(\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j)(\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_l) = (\mathbf{e}_j\cdot\mathbf{e}_k)\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_l = \delta_{jk}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_l
が得られる．
正規直交基底を導入すると，任意の2階のテンソル \mathbf{A} は9個のテンソル積 \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j (i,j = 1, 2, 3) を用いて
\mathbf{A} = A_{ij} \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j
と表せる．
補足
ここでは，クロネッカーのデルタの性質を見ていくことにする．クロネッカーのデルタは指標を入れ替えても値は変わらない．つまり，
\delta_{ij} = \delta_{ji}
が成り立つ．また，n次の単位行列 \mathbf{I} は，クロネッカーのデルタを用いて
\mathbf{I} = \delta_{ij} \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j
と表せる．これを用いると，
\begin{aligned}
\mathbf{I}^2 &= \delta_{ij} \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j \delta_{kl} \mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_l = \delta_{ij}\delta_{kl} (\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j)(\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_l)\\
&= \delta_{ij}\delta_{kl}\delta_{jk} (\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_l) = \delta_{ij}\delta_{jl} (\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_l)
\end{aligned}
これと \mathbf{I}^2 = \mathbf{I} = \delta_{il}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_l を比較すると，
\delta_{ij}\delta_{jk} = \delta_{ik}
が得られる（lをkと置き換えたことに注意）．
等方超弾性体
等方超弾性体は，第2Piola-Kirchhoff応力テンソル \mathbf{S} が弾性ポテンシャル関数 W(\mathbf{C}) を用いて，
\mathbf{S} = 2\frac{\partial W(\mathbf{C})}{\partial \mathbf{C}}
と表されるようなものである（\mathbf{C}は右Cauchy-Green変形テンソル）．
一様な等方材料を仮定すると，弾性ポテンシャル関数 W(\mathbf{C})は \mathbf{C} の主値
\mathrm{I}_C = \mathrm{tr}(\mathbf{C}),\\ \\[4pt]
\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C = \frac{1}{2}\left(\left(\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right)\right)^2 - \mathrm{tr}\left(\mathbf{C}^2\right)\right),\\ \\[4pt]
\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C = \mathrm{det}\mathbf{C}
の関数 W(\mathbf{C}) = W(\mathrm{I}_C, \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C, \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C) となる．このとき，第2Piola-Kirchhoff応力テンソルは，
\begin{aligned}
\mathbf{S} &= 2\frac{\partial W(\mathbf{C})}{\partial \mathbf{C}} = 2\frac{\partial W(\mathrm{I}_C, \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C, \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C)}{\partial \mathbf{C}}\\
&= 2\left(\frac{\partial W}{\partial \mathrm{I}_C} \frac{\partial \mathrm{I}_C}{\partial \mathbf{C}} + \frac{\partial W}{\partial \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C} \frac{\partial \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C}{\partial \mathbf{C}} + \frac{\partial W}{\partial \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C} \frac{\partial \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C}{\partial \mathbf{C}}\right)
\end{aligned}
と表される．例えば，Neo-Hookeanモデルでは，
W(\mathbf{C}) = C_1(\mathrm{I}_C - 3) + \frac{1}{D}\left(\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C - 1\right)^2
である．これより，\frac{\partial W}{\partial \mathrm{I}_C} などは簡単に計算できるが，問題となるのは，\frac{\partial \mathrm{I}_C}{\partial \mathbf{C}} などの計算である．これらの計算についてこれから考えていく．
準備
これからの計算で必要になるものを先に求めていく．
\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right) = C_{ii}
\left(\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right)\right)^2 = C_{ii}C_{jj}
\left(\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right)\right)^3 = C_{ii}C_{jj}C_{kk}
\begin{aligned}
\mathbf{C}^3 &= C_{ij}'\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\\
&= C_{ik}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_k C_{lm}\mathbf{e}_l\otimes\mathbf{e}_m C_{nj}\mathbf{e}_n\otimes\mathbf{e}_j\\
&= C_{ik}C_{lm}C_{nj}(\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_k)(\mathbf{e}_l\otimes\mathbf{e}_m)(\mathbf{e}_n\otimes\mathbf{e}_j)\\
&= C_{ik}C_{lm}C_{nj}\delta_{kl}(\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_m)(\mathbf{e}_n\otimes\mathbf{e}_j)\\
&= C_{ik}C_{km}C_{nj}(\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_m)(\mathbf{e}_n\otimes\mathbf{e}_j)\\
&= C_{ik}C_{km}C_{nj}\delta_{mn}(\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j)\\
&= C_{ik}C_{kl}C_{lj}(\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j)
\end{aligned}
\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}^3\right) = C_{ij}C_{jk}C_{ki}
第1不変量
\begin{aligned}
\frac{\partial \mathrm{I}_C}{\partial C_{ij}}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j &= \frac{\partial}{\partial C_{ij}} \left( C_{kk} \right) \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\\
&= \delta_{ik}\delta_{jk} \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\\
&= \delta_{ij}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j
\end{aligned}
第2不変量
\begin{aligned}
\frac{\partial \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C}{\partial C_{ij}}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j &= \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial C_{ij}} \left( C_{kk}C_{ll} - C_{kl}C_{lk} \right) \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\\
&= \frac{1}{2}\left(\delta_{ik}\delta_{jk}C_{ll} + C_{kk}\delta_{il}\delta_{jl} - \delta_{ik}\delta_{jl}C_{lk} - C_{kl}\delta_{il}\delta_{jk} \right)\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\\
&= \frac{1}{2}\left(\delta_{ij}C_{kk} + \delta_{ij}C_{kk} - C_{ij} - C_{ij} \right)\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\\
&= \left(\delta_{ij}C_{kk} - C_{ji}\right)\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j
\end{aligned}
第3不変量
Cayley-Hamiltonの定理より
\mathbf{C}^3 - \mathrm{I}_C \mathbf{C}^2 + \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C \mathbf{C} - \mathbf{I}\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C = \mathbf{0}
両辺のトレースをとると，
\begin{aligned}
\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}^3\right) - \mathrm{I}_C \mathrm{tr}\left(\mathbf{C}^2\right) + \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C \mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right) - \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C \mathrm{tr}\left(\mathbf{I}\right) = \mathbf{0}\\
3\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C = \mathrm{tr}\left(\mathbf{C}^3\right) - \mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right)\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}^2\right) + \frac{1}{2}\left(\left(\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right)\right)^2 - \mathrm{tr}\left(\mathbf{C}^2\right)\right)\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right)\\
\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C = \frac{1}{3}\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}^3\right) - \frac{1}{2}\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right)\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}^2\right) + \frac{1}{6}\left(\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right)\right)^3
\end{aligned}
これより，
\frac{\partial \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C}{\partial C_{ij}}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j = \left(\frac{1}{3}\frac{\partial}{\partial C_{ij}}\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}^3\right) - \frac{1}{2}\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}^2\right)\frac{\partial}{\partial C_{ij}}\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right) - \frac{1}{2}\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right)\frac{\partial}{\partial C_{ij}}\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}^2\right) + \frac{1}{6}\frac{\partial}{\partial C_{ij}}\left(\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right)\right)^3\right)\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j
となる．ここで，
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial C_{ij}}\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}^3\right)\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j &= \frac{\partial}{\partial C_{ij}}\left(C_{kl}C_{lm}C_{mk} \right)\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\\
&= \left(\delta_{ik}\delta_{jl}C_{lm}C_{mk} + \delta_{il}\delta_{jm}C_{kl}C_{mk} + \delta_{im}\delta_{jk}C_{kl}C_{lm}\right)\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\\
&= \left(C_{jm}C_{mi} + C_{ki}C_{jk} + C_{jl}C_{li}\right)\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial C_{ij}}\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right)\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j &= \frac{\partial}{\partial C_{ij}}C_{kk} \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\\
&= \delta_{ij}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial C_{ij}}\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}^2\right)\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j &= \frac{\partial}{\partial C_{ij}}C_{kl}C_{lk} \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\\
&= \left(\delta_{ik}\delta_{jl}C_{lk} + \delta_{il}\delta_{jk}C_{kl}\right)\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\\
&= 2C_{ji}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\\
&= 2\mathbf{C}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial C_{ij}}\left(\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right)\right)^3\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j &= \frac{\partial}{\partial C_{ij}}C_{kk}C_{ll}C_{mm} \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\\
&= \left(\delta_{ik}\delta_{jk}C_{ll}C_{mm} + \delta_{il}\delta_{jl}C_{kk}C_{mm} + \delta_{im}\delta_{jml}C_{kk}C_{ll}\right)\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\\
&= 3\delta_{ij}C_{kk}C_{ll}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\\
&= 3\delta_{ij}\left(\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right)\right)^2\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j
\end{aligned}
以上より，
\begin{aligned}
\frac{\partial \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C}{\partial C_{ij}}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j &= \frac{1}{3}\left(C_{jk}C_{ki} + C_{ki}C_{jk} + C_{jk}C_{ki}\right)\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j - \frac{1}{2}\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}^2\right)\delta_{ij}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j - \mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right)C_{ji}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j + \frac{1}{2}\delta_{ij}\left(\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right)\right)^2\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\\
&= \frac{1}{2}\left(\left(\mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right)\right)^2 - \mathrm{tr}\left(\mathbf{C}^2\right)\right)\delta_{ij}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j + \mathrm{tr}\left(\mathbf{C}\right)C_{ij}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j + C_{ik}C_{kj}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\\
&= \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C \mathbf{I} - \mathrm{I}_C\mathbf{C} + \mathbf{C}^2
\end{aligned}
ここで，変形の際に
\mathbf{C}^T = \left(\mathbf{F}^T\mathbf{F}\right)^T = \mathbf{F}^T \left(\mathbf{F}^T\right)^T = \mathbf{F}^T\mathbf{F} = \mathbf{C}
つまり C_{ij} = C_{ji} を用いた．
また，Cayley-Hamiltonの定理より
\mathbf{C}^2 - \mathrm{I}_C \mathbf{C} + \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C \mathbf{I} - \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C\mathbf{C}^{-1} = \mathbf{0}
これを用いると
\frac{\partial \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C}{\partial C_{ij}}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j = \mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}\hspace{-1.2pt}\mathrm{I}_C\mathbf{C}^{-1}
Discussion