目的
文献 [NC2] p.56 図 4.19 に RZ^{\otimes 4} ゲートの分解が書かれている。これについて一般的にそのように分解できることを軽い目に示したい。
主定理と証明
上記を示すために補題を 2 つ用意する。
以上の準備のもと、定理を証明する。
定理の証明（のようなもの）
n=1 と n=2 についてはよく知られている。n \geq 3 について帰納法で示す。n-1 までは主張が成立しているとする。この時、n に対する回路は帰納法の仮定より、n-1 量子ビットぶんについては U_{n-1} (\theta) = RZ^{\otimes n-1} に等しいので、
のように書ける。これが U_n (\theta) に一致することを確認すれば良い。まず Lemma 2 より、
\begin{align*}
\begin{split}
&CX_{0, n-1} (I \otimes U_{n-1} (\theta)) CX_{0, n-1} \\
=\ & \begin{pmatrix}
I^{\otimes n -1} & 0 \\
0 & I^{\otimes n - 2} \otimes X
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
U_{n - 1} (\theta) & 0 \\
0 & U_{n - 1} (\theta)
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
I^{\otimes n -1} & 0 \\
0 & I^{\otimes n - 2} \otimes X
\end{pmatrix} \\
=\ & \begin{pmatrix}
U_{n - 1} (\theta) & 0 \\
0 & (I^{\otimes n - 2} \otimes X) U_{n - 1} (\theta) (I^{\otimes n - 2} \otimes X)
\end{pmatrix} \\
\end{split}
\tag{4}
\end{align*}
となる。右下の行列 (I^{\otimes n - 2} \otimes X) U_{n - 1} (\theta) (I^{\otimes n - 2} \otimes X) について見よう。これは量子回路で書くと以下のようになる。
ここで
の部分は
のように書けるので、左右の X ゲートを中央に移動させて行くと (I^{\otimes n - 2} \otimes X) U_{n - 1} (\theta) (I^{\otimes n - 2} \otimes X) の表現として以下を得る。
行列の直接計算により X RZ(\theta) X = RZ(-\theta) が示せるので、
\begin{align*}
(I^{\otimes n - 2} \otimes X) U_{n - 1} (\theta) (I^{\otimes n - 2} \otimes X) = U_{n - 1} (-\theta)
\end{align*}
\tag{5}
であることが分かる。
Eq. (5) を Eq. (4) に代入して Lemma 1 を用いると、
\begin{align*}
CX_{0, n-1} (I \otimes U_{n-1} (\theta)) CX_{0, n-1} &= \begin{pmatrix}
U_{n - 1} (\theta) & 0 \\
0 & U_{n - 1} (-\theta)
\end{pmatrix} \\
&= U_n (\theta)
\end{align*}
を得る。よって帰納法により、主張が示される。{}_\blacksquare
系と言うと言い過ぎかもしれないが、ほぼ同様の議論で以下も示せる。
まとめ
数式だけで説明すると分かり難いので、適宜図を使って証明を行ってみた。文献 [NC2] に載っている内容なので、きっとよく知られたことであるとは思われるが、それが書かれた論文を簡単に見つけられなかったので自力で証明してみた。
文献
[NC2] Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, 量子コンピュータと量子通信 II, オーム社, 2005
Discussion