ピックの定理　3次元版　四面体の体積と格子点

四面体の体積と格子点について

$O(0, 0, 0)\text{O}(0,\,0,\,0)$，$A(2, 2, 3)\text{A}(2,\,2,\,3)$，$B(0, 1, 1)\text{B}(0,\,1,\,1)$，$C(−3, 5, 8)\text{C}(-3,\,5,\,8)$を頂点とする四面体OABCの体積$VV$とする。

4つの面の方程式を求めると，

• $△OAB:f(x,y,z)=x+2y−2z=0\triangle{\text{OAB}} : f(x,y,z)=x+2y-2z=0$
• $△OBC:g(x,y,z)=x−y+z=0\triangle{\text{OBC}} : g(x,y,z)=x-y+z=0$
• $△OCA:h(x,y,z)=−x+25y−16z=0\triangle{\text{OCA}} : h(x,y,z)=-x+25y-16z=0$
• $△ABC:j(z,y,z)=−x−20y+11z+9=0\triangle{\text{ABC}} : j(z,y,z)=-x-20y+11z+9=0$

In [1]:
f(x,y,z)=x+2y-2z
g(x,y,z)=x-y+z
h(x,y,z)=-x+25y-16z
j(x,y,z)=-x-20y+11z+9

Out[1]:
j (generic function with 1 method)

四面体の重心は四面体の内部なので，この座標を調べて領域を考える。

$$(0+2+0−34, 0+2+1+54, 0+3+1+84)=(−14, 2, 3)\left(\frac{0+2+0-3}4,\,\frac{0+2+1+5}4,\,\frac{0+3+1+8}4\right)=\left(-\frac14,\,2,\,3\right)$$

この点が，正領域なのか負領域なのか調べ，四面体の内部を表す連立不等式を作る。

• $△OAB:f(x,y,z)=x+2y−2z<0\triangle{\text{OAB}} : f(x,y,z)=x+2y-2z<0$
• $△OBC:g(x,y,z)=x−y+z>0\triangle{\text{OBC}} : g(x,y,z)=x-y+z>0$
• $△OCA:h(x,y,z)=−x+25y−16>0\triangle{\text{OCA}} : h(x,y,z)=-x+25y-16>0$
• $△ABC:j(z,y,z)=−x−20y+11z+9>0\triangle{\text{ABC}} : j(z,y,z)=-x-20y+11z+9>0$

In [2]:
O=[0,0,0];A=[2,2,3];B=[0,1,1];C=[-3,5,8];(O + A + B + C) /4

Out[2]:
3-element Array{Float64,1}:
 -0.25
  2.0
  3.0

In [3]:
f(-1/4,2,3)

Out[3]:
-2.25

In [4]:
g(-1/4,2,3)

Out[4]:
0.75

In [5]:
h(-1/4,2,3)

Out[5]:
2.25

In [6]:
j(-1/4,2,3)

Out[6]:
2.25

格子点と体積の関係は以下の通りである。

• $aa$は境界上の格子点の数
• $bb$は境界上の$12\frac12$格子点の数
• $cc$は内部の格子点の数
• $dd$は内部の$12\frac12$格子点の数
• $VV$は体積$V=−16a+112b−13c+16dV=-\frac16a+\frac1{12}b-\frac13c+\frac16d$

In [7]:
function koushi()
b=0;d=0;
    for i=0:16
        for k=-6:4
            for l=0:10
                if f(k/2,l/2,i/2)<0 && g(k/2,l/2,i/2)>0 && h(k/2,l/2,i/2)>0 && j(k/2,l/2,i/2)>0
                    d += 1
                elseif f(k/2,l/2,i/2)<=0 && g(k/2,l/2,i/2)>=0 && h(k/2,l/2,i/2)>=0 && j(k/2,l/2,i/2)>=0
                    b +=1
                end
            end
        end
    end
a=0;c=0;
    for i=0:8
        for k=-3:2
            for l=0:5
                if f(k,l,i)<0 && g(k,l,i)>0 && h(k,l,i)>0 && j(k,l,i)>0
                    c += 1
                elseif f(k,l,i)<=0 && g(k,l,i)>=0 && h(k,l,i)>=0 && j(k,l,i)>=0
                    a +=1
                end
            end
        end
    end
    println(a)
    println(b)
    println(c)
    println(d)
    v=-1/6 *a+1/12 *b-1/3 *c+1/6 *d
end

koushi()


5
14
2
11
Out[7]:
1.5

結果は

• 境界上の格子点の数$a=5a=5$
• 境界上の$12\frac12$格子点の数$b=14b=14$
• 内部の格子点の数$c=2c=2$
• 内部の$12\frac12$格子点の数$d=11d=11$
• 体積$V=−16×5+112×14−13×2+16×11=32V=-\frac16\times5+\frac1{12}\times 14-\frac13\times 2+\frac16\times 11=\frac32$