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juliaで素数を生成する1次式を求める！

2021/06/19に公開

Julia

math

mathematica

idea

はじめに

元々は次のツイートの問題が発端です。東北大学の入試問題のようです。

この問題について，次のように解けるのではないかと思い，次のようにリツイートしました。

ということで， $f(x)=ax+1$ （ $a$ は自然数）の形のときは，

『素数 $p$ について $f(p)$ も素数になるものがあるのかな？』

と思いました。『まあ，なさそうかな？』というのがツイッター界隈のコメントでした。

授業での生徒の発見！

そんなことを授業で話していたら，生徒が，

f(x)=6x+1

という関数を持ってきました。最初は『？？？』と思ったのですが，調べてみると

f(2)=13
f(3)=19
f(5)=31
f(7)=43
f(11)=67
f(13)=79
f(17)=103

と $f(2)$ から $f(17)$ まで全て素数でした。でも，残念ながら次の $f(19)$ は115で素数ではありませんでした。

ツイッターみると，この辺りのことに関心のある方もいてやりとりをしました。

その先を調べてみたい！

ということで，f(2)~f(19)まで素数になるような $f(x)=ax+1$ はあるのかな？ということですが，これはそんなに簡単に見つかるはずもありません。そこでまず，Mathematicaで調べてみることにしました。今はWolfram Cloudで無料で利用できます。いい時代になりました。

https://www.wolframcloud.com

For[a=1,a<10000000,a++,n=1;
While[PrimeQ[f[Prime[n]]],n++];
If[n>7,Print["f(x)=",2a,"x+1,","n=",n-1]]]

$f(x)=192660x+1$ はf(2)~f(19)まで素数です！

まあ，この辺りが，Wolfram Cloud無料版の限界で，f(23)まで素数のものを探そうとするとtimeoutでした。

JuliaのPrimes.jlパッケージ

ということで，最後にJuliaでやってみました。Primes.jlが良さそうです。

まずはパッケージを読み込んで

import Pkg; Pkg.add("Primes")

using Primes

その後，調べます。

for i=1:1000000000
    n=1
    while isprime(2*i*prime(n)+1)
        n+=1
    end
    if n>9 
        println("f(x)=",2*i,"x+1,","n=",n-1)
    end
end

f(x)=437286240x+1,n=9
f(x)=861211560x+1,n=9
InterruptException:

途中で，切れてしまいましたが，2つ見つかりました。時間はは買っていないのですが，見つかるまで数分だと思います。

$f(x)=437286240x+1$ として， $f(2)$ から $f(23)$ まで書き挙げると，

n=1
while isprime(437286240*prime(n)+1)
 println("f(",prime(n),")=",437286240*prime(n)+1)
     n+=1
end

f(2)=874572481
f(3)=1311858721
f(5)=2186431201
f(7)=3061003681
f(11)=4810148641
f(13)=5684721121
f(17)=7433866081
f(19)=8308438561
f(23)=10057583521

です。

はじめに

授業での生徒の発見！

その先を調べてみたい！

JuliaのPrimes.jlパッケージ

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