🗂

高校生が学習する仮説検定について，Juliaで調べてみる。

2022/09/23に公開

Julia

math

idea

はじめに

高校１年生の数学Iの「データの分析」という単元の中で仮説検定について学習します。確率については数学Aで平行して学習するので，分布については具体的に与えることが多いです。数学Bの「統計的な推測」まで学習すると，二項分布など確率分布を与えることもできるようになります。数研出版の数学Ⅰの教科書には次のように書かれています。

仮説検定についてのTweet

まずは@Mathworld4さんのツイートからです。

今まで，正解率が70%で，今回は $7/8\times 100=87.5$ %なので，
「今回は頑張ったね。正答率上がったね！」

と，言ってあげたいのですが，このことを仮説検定に基づいて考えるということです。

仮説検定の流れ

対立仮説

この対立仮説が証明したい事柄になります。今回は「花子さんの学力が上がった」ということです。

帰無仮説

対立仮説に反対する仮説となります。すなわち，今回も「普段通りの正答率70%だった」ということとです。

有意水準

平たく言うと，今回起こった事柄「8問中7問題正解だった」は帰無仮説のもと考えると 「まあ，よくあること」なのか「レアケース」なのか を判断していきます。そのための判断基準が 有意水準5% となります。

今回，8問中7問題以上正解 であることが「まあ，よくあること」なのか「レアケース」なのかを確認していきますが，

8問中7問題以上正解する確率が0.05以上であれば，「まあ，よくあること」
8問中7問題以上正解する確率が0.05未満であれば，「レアケース」

と判断します。

仮説検定の結論

「まあ，よくあること」と判断した場合

この場合は，帰無仮説が否定されなかったので，「花子さんの学力が上がったどうかわからない」 と言う結論になります。注意点としては「花子さんの学力は上がっていない」と決めつけることはできないという点です。

「レアケース」と判断した場合

この場合は，帰無仮説が否定され，「花子さんの学力は上がった」 と判断します。

計算してみます。

実際に8問中7問題以上正解する確率を計算してみます。いつものようにjuliaで計算します。Distributions.jlのパッケージを使いました。

using Distributions
binomial(8,7)*(.7)^7*(.3)+(.7)^8

0.2552983299999999

{}_8\text{C}_7\left(\dfrac7{10}\right)^7\left(\dfrac{3}{10}\right)+\left(\dfrac{3}{10}\right)=0.255...\geqq 0.05

よって，「まあ，よくあること」となり，「花子さんの学力が上がったどうかわからない」という結論になりました。

考察

@Mathworld4さんの解答のツイートをみると，8問中7問題正解するだけで，確率が0.05を超えてしまうことがわかりました。正解の割合ではないことには気がついていたので，どのくらい回数をこなせば，「学力が上がった」と判断できるのかが気になったので，調べてみることにしました。

実験

100問中80問正解した場合

まず，100問中80問正解した場合は「学力が上がった」と判断できるか調べてみました。有意水準は5%です。

100問中80問以上正解する確率は

p=0
n=100
k = 80
for i=k:n
    p += binomial(BigInt(n),i)*(.7)^i*(.3)^(n-i)
end
println(p)

0.0164628532418693788358036977549403397060313662430586333319713050812319582425242

これは $0.016<0.05$ なので「学力が上がった」といえますね！割合で考えると80%で8問中7問のときより割合は下がっています。しかし，学力は上がりました！

ちなみに，100問中80問正解する確率は次の通りです。

p=0;n=100;k=80;i=k
binomial(BigInt(n),i)*(.7)^i*(.3)^(n-i)

0.007575644925726609797452082516340891794159647965788391922169648551623356549866915

100問中何問正解すると学力は上がるのか？

その境界を探ってみます！

function kentei(n)
    p=0
    for i=0:n
        p += binomial(BigInt(n),i)*(.7)^(n-i)*(.3)^i
        if p >= 0.05 && i==0
            println("$(n)問中$(n-i)問正解しても学力は上がらない")
            break
        elseif p >= 0.05
            println("$(n)問中$(n-i+1)問正解のとき学力は上がった。")
            #println("学力は上がった。")
            println("$(n)問中$(n-i)問正解のとき学力は上がったとはいえない。")
            break
        end
    end
end
kentei(100)

100問中78問正解のとき学力は上がった。
100問中77問正解のとき学力は上がったとはいえない。

他の回数ではどうなるのか？

8問

kentei(8)

8問中8問正解しても学力は上がらない

9問

全問正解でも学力が上がったと判断できません。悲しい結果です。。。

kentei(9)

9問中9問正解のとき学力は上がった。
9問中8問正解のとき学力は上がったとはいえない。

20問

kentei(20)

20問中18問正解のとき学力は上がった。
20問中17問正解のとき学力は上がったとはいえない。

まとめて調べてみる

for i=10:10:100
    kentei(i)
end

10問中10問正解のとき学力は上がった。
10問中9問正解のとき学力は上がったとはいえない。
20問中18問正解のとき学力は上がった。
20問中17問正解のとき学力は上がったとはいえない。
30問中26問正解のとき学力は上がった。
30問中25問正解のとき学力は上がったとはいえない。
40問中34問正解のとき学力は上がった。
40問中33問正解のとき学力は上がったとはいえない。
50問中41問正解のとき学力は上がった。
50問中40問正解のとき学力は上がったとはいえない。
60問中49問正解のとき学力は上がった。
60問中48問正解のとき学力は上がったとはいえない。
70問中56問正解のとき学力は上がった。
70問中55問正解のとき学力は上がったとはいえない。
80問中64問正解のとき学力は上がった。
80問中63問正解のとき学力は上がったとはいえない。
90問中71問正解のとき学力は上がった。
90問中70問正解のとき学力は上がったとはいえない。
100問中78問正解のとき学力は上がった。
100問中77問正解のとき学力は上がったとはいえない。

グラフ化

最後に $n=9$ 〜 $50$ について「学力が上がる」境界の値をグラフにして終わります。せっかくなので，線形回帰も調べてみます。下記のサイトを参考にしました。

まず，データを準備します。

using DataFrames, GLM

# データを準備
y=[0];x=[0]
for n=9:50
    push!(x,n::Int64)
    push!(y,kentei2(n)::Int64) 
end
deleteat!(x, 1)
deleteat!(y, 1);

data = DataFrame(X=x,Y=y)

ols = lm(@formula(Y ~ X), data)

線形回帰は $Y=2.63825+0.774167X$ となります。

グラフを見てみましょう！

using Plots
plot(x->2.63825+0.774167*x,xlim=(8,50),label=false)
scatter!(x,y,label=false)