単位分数の和が１（Juliaで解いてみた！）

はじめに

2020年の年末に生徒から問題が送られてきました。さっそく考えてみます。

$$A=\{(x,\,y)|1\leqq x\leqq n,1\leqq y\leqq n,x+y\geqq n+1,\gcd(x,y)=1,n\in\mathbb{N},x\in\mathbb{N},y\in\mathbb{N}\}$$

このとき，

$$\sum_{(x,y)\in A}\frac1{xy}=1$$

を示せ。

Juliaで調べてみる

手で書いていってもいいのですが，Juliaで調べてみることにしました。

function aa1(n)
for x=1:n,y=1:n
    if gcd(x,y)==1 && x+y>=n+1
        println(x,",",y)
        end
    end
end

aa1(10)

1,10
2,9
3,8
3,10
4,7
4,9
5,6
5,7
5,8
5,9
6,5
6,7
7,4
7,5
7,6
7,8
7,9
7,10
8,3
8,5
8,7
8,9
9,2
9,4
9,5
9,7
9,8
9,10
10,1
10,3
10,7
10,9

$x<y$と$x>y$の場合があるので，$n\geqq 2$のときは

$$\sum_{(x,y)\in A,x<y}\frac1{xy}=\frac12$$

を示せばよさそうです。関数を修正します。また，和が$\frac12$になることもチェックするようにしました。

function aa2(n)
s=0
for x=1:n,y=x+1:n
    if gcd(x,y)==1 && x+y>=n+1 
            s= s+ 1/(x*y)
        println(x,",",y,",",x*y)
        end
    end
println(s)
end

aa2(10)

1,10,10
2,9,18
3,8,24
3,10,30
4,7,28
4,9,36
5,6,30
5,7,35
5,8,40
5,9,45
6,7,42
7,8,56
7,9,63
7,10,70
8,9,72
9,10,90
0.5

$n$が1から8までのまとめ

• $n=1$のときは$(x,y)=(1,1)$

$$\sum_{(x,y)\in A}\frac1{xy}=\frac{1}{1\cdot1}=1$$

• $n=2$のときは$(x,y)=(1,2)$

$$\sum_{(x,y)\in A,x<y}\frac1{xy}=\frac{1}{1\cdot2}=\frac12$$

aa2(3)

1,3,3
2,3,6
0.5

• $n=3$のときは$(x,y)=(1,3),(2,3)$

$$\sum_{(x,y)\in A,x<y}\frac1{xy}=\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3}=\frac{2+1}{6}=\frac12$$

aa2(4)

1,4,4
2,3,6
3,4,12
0.49999999999999994

• $n=4$のときは$(x,y)=(1,4),(2,3),(3,4)$

$$\sum_{(x,y)\in A,x<y}\frac1{xy}=\frac{1}{1\cdot4}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}=\frac{3+2+1}{12}=\frac12$$

aa2(5)

1,5,5
2,5,10
3,4,12
3,5,15
4,5,20
0.5

• $n=5$のときは$(x,y)=(1,5),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)$

$$\sum_{(x,y)\in A,x<y}\frac1{xy}=\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20}=\frac{12+6+5+4+3}{60}=\frac12$$

aa2(6)

1,6,6
2,5,10
3,4,12
3,5,15
4,5,20
5,6,30
0.49999999999999994

• $n=6$のときは$(x,y)=(1,6),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(5,6)$

$$\sum_{(x,y)\in A,x<y}\frac1{xy}=\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\frac{10+6+5+4+3+2}{60}=\frac12$$

aa2(7)

1,7,7
2,7,14
3,5,15
3,7,21
4,5,20
4,7,28
5,6,30
5,7,35
6,7,42
0.5

• $n=7$のときは$(x,y)=(1,7),(2,7),(3,5),(3,7),(4,5),(4,7),(5,6),(5,7),(6,7)$

$$\sum_{(x,y)\in A,x<y}\frac1{xy}=\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\frac{1}{20}+\frac{1}{28}+\frac{1}{30}+\frac{1}{35}+\frac{1}{42}=\frac12$$

aa2(8)

1,8,8
2,7,14
3,7,21
3,8,24
4,5,20
4,7,28
5,6,30
5,7,35
5,8,40
6,7,42
7,8,56
0.49999999999999994

• $n=8$のときは$(x,y)=(1,8),(2,7),(3,7),(3,8),(4,5),(4,7),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(7,8)$

$$\sum_{(x,y)\in A,x<y}\frac1{xy}=\frac{1}{8}+\frac{1}{14}+\frac{1}{21}+\frac{1}{24}+\frac{1}{20}+\frac{1}{28}+\frac{1}{30}+\frac{1}{35}+\frac{1}{40}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}=\frac12$$

しかし，この後方針がわからず，２，3日停滞する。

Webで調べたこと

この停滞期にWebで調べたことをまとめます。

https://ja.wikipedia.org/wiki/エジプト式分数

https://ja.wikipedia.org/wiki/単位分数

https://ja.wikipedia.org/wiki/ライプニッツの調和三角形

これらの中で

$$\frac1n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$$

を用いて変形することが書かれており，この方針でいけばいいのかな？と思って，チェックしていきました。

$n=1$から$n=4$までは順調に拡張できました。

$$\frac11=\frac12+\frac12$$

$$\frac12=\frac13+\frac16$$

$$\frac13=\frac14+\frac12$$

しかし，$n=4$から$n=5$にかけて

$$\frac16=\frac1{10}+\frac1{15}$$

は説明できない変形が出てきました。

その後も$n=6$から$n=7$にかけて

$$\frac1{10}=\frac1{14}+\frac1{35}$$

$$\frac1{12}=\frac1{21}+\frac1{28}$$

とでてきたので，違うロジックが必要なのだと理解しました。

そして，そもそも，$x+y\geqq n+1$の条件がどのように効いてくるのかがまだ見えていませんでした。

今回とは関係なかったのですが，1を2桁までの単位分数の和で表す話は面白かったです。

解答に向かって

解答の鍵となったのは$x+y\geqq n+1$でした。数学的帰納法で$n=k$から$n=k+1$へちゃんと作ってみることにしました。（ここまで4日くらいかかっています。）

• $n=k$のとき，$k+1\leqq x+y\leqq 2k$である。

$$(x,y)=(p_1,q_1),(p_2,q_2),\cdots (p_N,q_N)\cdots\bigstar$$

とする。

• $n=k+1$のとき，$k+2\leqq x+y\leqq 2k+2$である。

  • $\bigstar$の中で，$p_r+q_r\geqq k+2$のものそのまま使える。
  • $\bigstar$の中で，$p_r+q_r= k+1$のものは

$$\frac{1}{p_rq_r}=\frac{1}{k+1}\left(\frac1{p_r}+\frac1{q_r}\right)=\frac1{(k+1)p_r}+\frac1{(k+1)q_r}$$

とすればよい。

このとき，

$$k+1+p_r\leqq k+1+k=2k+1\leqq 2k+2$$

$$k+1+q_r\leqq k+1+k=2k+1\leqq 2k+2$$

である。また，
$k+1=\alpha s,p_r=\beta s,\gcd(\alpha,\beta)=1$とすると，$p_r+q_r= k+1$より，

$$q_r=k+1-p_r=(\alpha-\beta)s$$

$s\geqq 2$とすると，$\gcd(p_r,q_r)=1$に反する。
よって，$s=1$となり，$\gcd(p_r,k+1)=1$である。同様に$\gcd(q_r,k+1)=1$となる。

よって，$n=k+1$のとき，$(x,y)$を構成できた！