文系だけど極座標を絶対に理解する

極座標での座標表現

機械学習のために回転行列を勉強していたら、x=rcosθという見慣れない記法を見つけました。
それぞれの座標は、(rcosθ,rsinθ)と表現します。ぱっと見この定義が意味不明だったので、三角比の定義から以下を確認してみます。

なぜ

$$x = r\cos\alpha$$

$$y = r\sin\alpha$$

が成り立つのか？

xについて

$r$を斜辺と見立てた直角三角形を想定した場合の、底辺の長さを$x$座標として扱える。

底辺を$p$、斜辺$r$とおくと

$$\cos\theta = \frac{p}{r}$$

$r=1$の時、$\frac{p}{r} = p$

そのため、$\cos\theta$に$r$をかける演算は

$$\frac{p}{r} \times r = p$$

yについて

$q$は$r$を斜辺とする直角三角形の対辺として扱える。

対辺を$q$、斜辺$r$とおくと

$$\sin\theta = \frac{q}{r}$$

そのため、$r\sin\theta$は

$$r\sin\theta = r \times \frac{q}{r} = q$$

最初に見た時は、xとyを順番に出していくイメージが全く湧かなかったのですが、rを斜辺とする三角形を想定して考えればいいんですね。xの場合の例だと、概念的にはコサインは「底辺は斜辺のどのくらいを占めるか？」と見ることができるので、その比率に斜辺の長さをかければrのx
軸上への射影の長さがわかる。