力学

基底ベクトルは次元を持たない無次元量

疑問：例えば3次元空間の基底ベクトルならメートルの次元を持つのでは？
回答：メートルやセンチメートルに依らずに基底ベクトルは大きさ１となるために、次元を持たない。

単位と次元

次元：ある物理量を基本単位の積・商で表したもの。

• {\rm N}（ニュートン）は力の単位
• {\rm N} の次元は、{\rm kg} \cdot {\rm m / s^2}

参考：https://eman-physics.net/dynamics/dimension.html

\begin{aligned} x &= r \sin\theta \cos\phi \\ y &= r \sin\theta \sin\phi \\ z &= r \cos\theta \end{aligned}

\begin{aligned} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} &= \sqrt{(r\sin\theta\cos\phi)^2 + (r\sin\theta\sin\phi)^2 + (r\cos\theta)^2} \\ &= r\sqrt{\sin^2\theta \cos^2\phi + \sin^2\theta \sin^2\phi + \cos^2\theta} \\ &= r\sqrt{\sin^2\theta (\cos^2\phi + \sin^2\phi) + \cos^2\theta} \\ &= r\sqrt{\sin^2\theta + \cos^2\theta} \\ &= r \\ \end{aligned}

\begin{aligned} {\sqrt{x^2 + y^2}\over z} &= {\sqrt{(r\sin\theta\cos\phi)^2 + (r\sin\theta\sin\phi)^2}\over r \cos\theta}\\ &= {r\sqrt{\sin^2\theta\cos^2\phi + \sin^2\theta\sin^2\phi}\over r\cos\theta}\\ &= {r\sqrt{\sin^2\theta(\cos^2\phi + \sin^2\phi)}\over r\cos\theta} \\ &= {r\sqrt{\sin^2\theta}\over r\cos\theta} \\ &= {r\sin\theta\over r\cos\theta} \\ &= {\sin\theta\over \cos\theta} \\ &= \tan\theta \\ \end{aligned}

\begin{aligned} {y \over x} &= {r\sin\theta\sin\phi \over r\sin\theta\cos\phi}\\ &= {\sin\phi \over \cos\phi}\\ &= \tan\phi \end{aligned}

3次元極座標で表された２つの位置ベクトル

\begin{cases} {\bf r}_1 &= (r_1\sin\theta_1\cos\phi_1, r_1\sin\theta_1\sin\phi_1, r_1\cos\theta_1) \\ {\bf r}_2 &= (r_2\sin\theta_2\cos\phi_2, r_2\sin\theta_2\sin\phi_2, r_2\cos\theta_2) \end{cases}

のなす角を \psiとすると、

\begin{aligned} \cos\psi &= {{\bf r}_1\cdot{\bf r}_2\over \|{\bf r}_1\|\|{\bf r}_2\|}\\ &= { r_1r_2\sin\theta_1\cos\phi_1\sin\theta_2\cos\phi_2 + r_1r_2\sin\theta_1\sin\phi_1\sin\theta_2\sin\phi_2 + r_1r_2\cos\theta_1\cos\theta_2 \over r_1r_2 }\\ &= \sin\theta_1\cos\phi_1\sin\theta_2\cos\phi_2 + \sin\theta_1\sin\phi_1\sin\theta_2\sin\phi_2 + \cos\theta_1\cos\theta_2\\ &= \sin\theta_1\sin\theta_2(\cos\phi_1\cos\phi_2 + \sin\phi_1\sin\phi_2) + \cos\theta_1\cos\theta_2\\ &= \sin\theta_1\sin\theta_2\cos(\phi_1 - \phi_2) + \cos\theta_1\cos\theta_2 \end{aligned}

質点

大きさを持たない点状の物体

質点系

複数の質点から構成される系

剛体

質点の相対位置が変わらない物体

太陽と地球は剛体ではない。地球は楕円軌道をとるため、その相対位置は時々刻々変化する。
ハンマー投げ時のハンマーと選手は剛体とみなせる。ハンマーと選手の相対位置が変わらないから。

x軸y軸が\thetaだけ回転してr軸\theta軸になっているとも考えられる。座標系自体が\theta回転しているので、座標自体は-\theta回転して

\begin{aligned} \begin{bmatrix} r \\ \theta \end{bmatrix} &= {\rm R}(-\theta)\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \end{aligned}

ゆえに、極座標系の基底ベクトルと直交座標系の基底ベクトルは

\begin{aligned} {\bf e}_r &= \cos\theta{\bf e}_x + \sin\theta{\bf e}_y \\ {\bf e}_\theta &= -\sin\theta{\bf e}_x + \cos\theta{\bf e}_y \\ \end{aligned}

の関係にある。それぞれの式の両辺を時刻tで微分すると、

\begin{aligned} \frac{d{\bf e}_r}{dt} &= \frac{d\cos\theta}{dt}{\bf e}_x + \frac{d\sin\theta}{dt}{\bf e}_y \\ &= -\sin\theta\frac{d\theta}{dt}{\bf e}_x + \cos\theta\frac{d\theta}{dt}{\bf e}_y \\ &= (-\sin\theta{\bf e}_x + \cos\theta{\bf e}_y)\frac{d\theta}{dt} \\ &= {\bf e}_\theta\frac{d\theta}{dt} \\ \frac{d{\bf e}_\theta}{dt} &= \frac{-d\sin\theta}{dt}{\bf e}_x + \frac{d\cos\theta}{dt}{\bf e}_y \\ &= -\cos\theta\frac{d\theta}{dt}{\bf e}_x - \sin\theta\frac{d\theta}{dt}{\bf e}_y \\ &= -(\cos\theta{\bf e}_x + \sin\theta{\bf e}_y)\frac{d\theta}{dt} \\ &= -\mathbf{e}_r\frac{d\theta}{dt} \\ \end{aligned}

となる。

少し変だが、複素平面的な考え方を混ぜると、

\begin{aligned} \mathbf{e}_r &= e^{i\theta}\mathbf{e}_x \\ \mathbf{e}_\theta &= ie^{i\theta}\mathbf{e}_x \\ \end{aligned}

となるので、それぞれの両辺を時刻tで微分して、

\begin{aligned} \frac{d\mathbf{e}_r}{dt} &= \frac{de^{i\theta}}{dt}\mathbf{e}_x \\ &= \frac{de^{i\theta}}{dt}\mathbf{e}_x \\ &= \frac{de^{i\theta}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}\mathbf{e}_x \\ &= \frac{d\theta}{dt}ie^{i\theta}\mathbf{e}_x \\ &= \frac{d\theta}{dt}\mathbf{e}_\theta \\ \frac{d\mathbf{e}_\theta}{dt} &= \frac{die^{i\theta}}{dt}\mathbf{e}_x \\ &= \frac{die^{i\theta}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}\mathbf{e}_x \\ &= \frac{d\theta}{dt}(-e^{i\theta}\mathbf{e}_x) \\ &= -\frac{d\theta}{dt}\mathbf{e}_r \\ \end{aligned}