概要
初めに
前回の共分散分析に関する学習に引き続き、今回もデータ分析の結果を考察するにあたり、必要となった共分散分析における「調整済み平均」「群間比較」「ダネット検定」「チューキー検定」について学習していきます。
本記事の目的
本記事は以下の二つを簡易的かつおおまかに理解することを目的としています。
- 共分散分析に関連する用語
- ダネット&チューキーの両検定を実施する場合の結果の解釈
ChatGPT 3o-miniの使用
本記事は推論モデルのChatGPT o3-miniが出力したものに筆者が加筆修正することで作成しています。
主に指示した内容は以下の通りです。
あなたは高名な日本人データサイエンティストです。
質問に対して具体例や数式を交えながら詳細かつユーモラスに回答してください。
私は現在共分散分析について学んだ状態です。下記の用語が分からなかったため、教えてください。
1. 調整済み平均
2. 群間比較
3. 多重比較法
- 特にダネット検定、チューキー検定
それではダネット検定とチューキー検定の結果はどの様に組み合わせて考えればいいのでしょうか？
1. 調整済み平均（Adjusted Means）
解説
共分散分析（ANCOVA）では、従来の分散分析（ANOVA）のように単純なグループごとの平均値を比較するのではなく、共変量（例：年齢、体重、初期値など）の影響を取り除いた上で、グループ間の「純粋な」効果を評価します。
このとき求められるのが調整済み平均です。
つまり、「もし全員が同じスタートライン（共変量）であったならば、グループごとの平均はどうなるか？」という仮定に基づいた平均値です。
なお、推定周辺平均は厳密には別概念のようですが、実際のデータ分析では殆ど同じ意味合いで使用されています。
数式でのイメージ
例えば、次のようなモデルがあるとします：
-
Y_{ij} -
\mu -
\tau_i i -
\beta X -
X_{ij} j -
\bar{X} -
\varepsilon_{ij}
この式で、各グループの調整済み平均は
共変量と説明変数が重複する場合
共変量と説明変数の両方に同じ変数が含まれる場合も有意性が出る場合があります。共変量は個々のばらつきを補正する役割を持つ一方で、説明変数はグループ間の変動を反映しています。
→ 個人レベルでのばらつきを補正しても、グループ間の違いが統計的に有意であるなら、ANCOVAの結果として重複する変数の影響が検出される可能性があります。
ユーモラスな例
たとえば、あなたが「美味しいラーメンの評価」を比較する研究をしているとしましょう。ただし、評価には「食べた直前の空腹度」という共変量が大きく影響しているとします。
そこで、各ラーメン店の真の実力（調整済み平均）を知るために、全員の空腹度を均一な状態（例えば、空腹度の平均値）に調整して比較するのがこの調整済み平均です。
「もし全員がイライラせずにラーメンを味わえたら、どの店が真の味の王者か？」という問いに答えるのです。
2. 群間比較（Between-group Comparison）
解説
群間比較とは、複数のグループ（例えば、異なる治療法、異なる学校、異なるラーメン店など）の間で平均値や分布の違いがあるかどうかを検定する方法です。
共分散分析の場合、共変量による影響を取り除いた後の調整済み平均の差異を比較するので、「本当にグループ間で差があるのか？」を統計的に判断することができます。
後述する多重比較法とは異なり、あくまでグループ全体で差があるかどうかを検定する方法です。
数式でのイメージ
上記のモデルから、各グループの効果
帰無仮説は一般的に「すべての
対立仮説は「少なくとも一つのグループで調整済み平均が異なる」というものです。
ユーモラスな例
ラーメン店の例に戻ると、「本当に全店の味は同じなのか？ それとも、あの店だけが秘密のタレで他店を凌駕しているのか？」という疑問に対し、群間比較を行います。
「もし味の王者があれば、その店は『天下一品』…ではなく、統計的に有意な差があるはずです！」
3. 多重比較法（Multiple Comparisons）
解説
群間比較で全体として有意な差が認められた場合、どのグループ間で差があるのかを特定するために多重比較法を用います。
なぜ「多重」かというと、グループの組み合わせが複数存在するため、一度にたくさんの検定を行う必要があり、この多重性により「偶然の発見（第一種の過誤）」が増えてしまう問題を防ぐためです。下記で紹介する検定方法はどれも誤検出率を抑える工夫がなされています。
3-1. ダネット検定（Dunnett Test）
- 用途：複数の治療群や実験群を、1つのコントロール群と比較するときに用います。薬の例で言えば、プラセボ(偽薬)群と各治療群とで比較し、それぞれで有意性が認められれば効果があると判断できます。
- 特徴：全ての比較が「各治療群 vs コントロール群」という形になるため、比較の数が少なく、検定のパワーが高くなることが期待されます。
数式イメージ
ダネット検定では、例えばグループ1がコントロール、グループ2～
ここで、
-
\bar{Y}_i i -
MSE -
n_i
3-2. チューキー検定（Tukey's Honest Significant Difference, HSD）
- 用途：全てのペア間の比較（「全組み合わせ比較」）を行います。つまり、どのグループとどのグループが有意に異なるのかを網羅的に調べます。
- 特徴：比較の数が増えるため、偶然の誤差を抑えるための補正（家族誤差率の制御）が行われます。
数式イメージ
チューキー検定での統計量
ここで、
-
\bar{Y}_i, \bar{Y}_j -
MSE -
n
この
ユーモラスな例
想像してみてください。あなたは「究極のラーメンランキング」を決めるために、全国のラーメン店を調査しました。
- ダネット検定：全国のラーメン店を、「老舗（コントロール）」と比較して、どの店が「老舗を超える味」を持っているかを調べます。まるで「老舗 vs 新参者」の闘いのよう！
- チューキー検定：一方、全店同士の徹底比較。あらゆる店同士が「味の一騎打ち」を繰り広げ、結果として「誰が天下を取るのか？」を決定する壮絶なバトルとなります。
ここまでのまとめ
- 調整済み平均：共変量の影響を補正して得られる「純粋な」グループ平均。
- 群間比較：調整済み平均を用いてグループ間の差異が統計的に有意かどうかを検定。
-
多重比較法：群間比較で有意差があった場合、どのグループ間に差があるかを詳しく探る方法。
- ダネット検定：コントロール群と各治療群の比較に特化。
- チューキー検定：全てのグループペア間を一斉に比較する方法。
このように、共分散分析の世界は「ラーメンの真の味」を見抜くための細かいテクニックが満載です。統計という調味料を上手に使えば、どんなデータも「美味しく」分析できるはずです！
ダネット検定とチューキー検定を組み合わせる場合
現在取り組んでいるデータ分析ではダネット検定とチューキー検定の両方を使用しています。そのため、両方を考慮した場合にどのように結果を解釈するべきかを確認します。
ダネット検定とチューキー検定は、どちらも多重比較の手法ですが、そもそも目的や比較対象が異なるため、直接「組み合わせて」結果を統合するというよりは、それぞれの結果を補完的に解釈するという考え方になります。以下、詳しく説明します。
結果の「組み合わせ方」の考え方
① 研究目的に応じた解釈
-
コントロールとの比較が主な関心の場合：
たとえば、新薬が従来治療やプラセボと比べて優れているかどうかを検証する場合は、ダネット検定の結果に重点を置いて解釈します。 -
グループ間の全体的な比較が必要な場合：
すべてのグループ間の順位や相対的な差異、例えば「どの治療が最も効果的か？」を詳しく知りたい場合は、チューキー検定の結果を活用します。
② 結果の相補的利用
-
補完的な情報として利用：
もし両方の検定を実施した場合、ダネット検定は「治療群がコントロールと比べて有意かどうか」を明確に示し、チューキー検定は「治療群同士の比較や、コントロールとの相対的な順位」を示します。
たとえば、ある治療群Aがコントロールと比べて有意で（ダネット検定）、さらにチューキー検定でも治療群Bとの比較で有意な差がある場合、治療群Aの効果の高さがより確信できる、といった具合です。
③ 結果の不一致が示す意味
-
一方でのみ有意な場合：
たとえば、ダネット検定では有意な差が見られたが、チューキー検定ではその比較が有意でなかった場合、
→ その治療群とコントロールの差は明確でも、他のグループとの比較では差が小さい、あるいは検出力の違いから一部のペアで有意にならなかった可能性が考えられます。 -
検定ごとの特性を理解する：
ダネット検定は対象が限られているためパワーが高い一方で、チューキー検定はすべてのペアを考慮するため、より保守的（誤検出を抑える）になる傾向があります。
そのため、両検定の結果が必ずしも一致しない場合でも、「何を比較したいか」という研究目的に照らして、どの結果を重視すべきかを判断します。
ユーモラスな例：ラーメン店比較大会
もし「老舗店は確実に負けている」というダネット検定の結果と、「新参店Aと新参店Bの間で明確な順位差が認められる」というチューキー検定の結果が両方得られたら、
→ 「新参店Aは老舗を凌駕し、さらに新参店Bとも明確な差がある」など、各角度からその実力が裏付けられる、と解釈できます。
検定の組み合わせに関するまとめ
両者の結果を照らし合わせることで、より詳細なグループ間の関係性を把握できる
例えば、どの治療群が真に効果的なのか、または各群間の微妙な差異がどの程度かを判断する際に、両方の検定結果を参考にします。
最終的には、研究の目的や仮説に応じて「どの比較が最も重要か」を判断し、ダネット検定の結果で「コントロールとの比較」を確認しつつ、チューキー検定の結果で「全体の相対的な差」を補完的に解釈するのが理想的なアプローチです。
用語集
多重性(Multiple Testing, Multiple Comparisons)
複数の検定を同時に行う場合に全体として第一種の過誤を犯す確率が高まってしまう現象を指します。ソーシャルゲームのガチャで言う「出るまで回せば実質確定ガチャ」が正にこの現象を表しています。
例えば有意水準
ガチャや宝くじも複数回やれば「あたり」を引くから掛けるわけですが、実際の検定でたった一度の「あたり」をあてにしては大問題です。
そのため、現在の多重比較法の検定では有意水準を調整する等、様々な工夫をして過誤を犯さないようにしています。
第一種の過誤(Type Ⅰ Error)
本当は帰無仮説が正しいにも関わらず、帰無仮説が間違っていると判定してしまうことを指し、一般に偽陽性 (False Positive)とも言います。
検定結果で有意性が確認できたといって効き目のない薬を販売してしまっては大ごとになるため、できる限り抑えなければなりません。
プラセボ(偽薬)
実際には薬効のない物質や処置であり、対照群として治療効果を評価するために使用されます。これはプラセボ効果という、患者が「治療を受けた」と信じることにより、心理的な影響で症状が改善する現象を元にしたものです。
この効果はバカにできないモノで、その昔、神から王権を賜ったとされる王様が患者に触れただけで病気が治る「ロイヤルタッチ」という逸話も残されているほどです。現代でもとある病気に関わる外科手術が実はプラセボで、全く切除する必要のない部位を切除してしまっていた、という事実が見つかることもあります。
Discussion