振幅エンコーディング (2)
データ木構造を用いた振幅エンコーディング
前回はQRAMをもちいて確率的にエンコードする方法をみました。
プログラム実装を考えるとユニタリ変換のみで構成されているほうが、なにかとやりやすいです。
Prakash氏によって提案されたデータ木構造を用いた振幅エンコーディングであれば実装できそうだったので、詳細を書き下していきます。
2量子ビットの場合
ことはじめとして、
今回の最初のお題は以下のベクトル
なお、このベクトルは、あるデータ行列
-
\bm{v'} \bm{v} \bm{v} = \frac{1}{\|v'\|} v' = \begin{pmatrix}0.4 \\ -0.4 \\ -0.8 \\ 0.2 \end{pmatrix} 最終的に欲しい量子状態
\ket{\phi} \ket{\phi} = 0.4 \ket{00} - 0.4 \ket{01} - 0.8 \ket{10} + 0.2 \ket{11}
-
初期状態の準備
QRAMアドレス用のレジスタと、そのアドレスに対応するデータの格納用レジスタを準備します。
\ket{0}_{addr}\ket{0^n}
-
QRAM操作を仮定し、
\bm{v} n \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{i=1}^{N} \ket{i} \ket{0^n} \xrightarrow{QRAM} \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{i=1}^{N} \ket{i} \ket{b(v_i)}
-
さらに
p A i v^T p = logN \\ \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{i=1}^{N} \ket{i} \ket{b(v_i)} \ket{0^p} \xrightarrow{U_{what?}} 以降は、
p = \log 4 = 2 \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{i=1}^{N} \ket{i} \ket{b(v_i)} \ket{00} \xrightarrow{U_{what?}}
-
最上位ビットから考えてみる。
最上位ビットが
\ket{0} \ket{00} \ket{01}
（v (0.4)^2 + (-0.4)^2 = 0.32 一方で、
\ket{10} \ket{11} (-0.8)^2 + (0.2)^2 = 0.68 そのようなユニタリ変換を実行すればよいので、
\ket{00} \xrightarrow{U_{rot1}} \left(\sqrt{0.32}\ket{0} + \sqrt{0.68}\ket{1} \right)\ket{0}
-
次の上位ビットについて考える。
以降は、QRAM（データレジスタ）部分を省略して記載します。一つ上（＝親）に対して条件付き確率を考えると、
\left(\sqrt{0.32}\ket{0} + \sqrt{0.68}\ket{1} \right)\ket{0} \xrightarrow{U_{rot2}} \left[ \sqrt{0.32}\ket{0} \frac{1}{\sqrt{0.32}} \left(\sqrt{0.16}\ket{0} - \sqrt{0.16}\ket{1} \right) + \sqrt{0.68}\ket{1} \frac{1}{\sqrt{0.68}} \left(-\sqrt{0.64}\ket{0} + \sqrt{0.04}\ket{1} \right) \right] \\ = \sqrt{0.16}\ket{00} - \sqrt{0.16}\ket{01} - \sqrt{0.64}\ket{10} + \sqrt{0.04}\ket{11} \\ = 0.4\ket{00} - 0.4\ket{01} - 0.8\ket{10} + 0.2\ket{11}
- 符号について
特定の量子ビットの符号を反転させる操作は制御Z X SWAP
-
QRAM操作って要る？要らない？
シミュレータで計算したい場合、arccos関数の値域に注意すると、回転ゲートさえ適用できれば振幅エンコードできそうです（小数の２進数表示の近似計算に
m
ただし、アドレスビットとして使用する量子ビットに対して、上位ビットの状態に応じ制御回転ゲートを適用していく必要がありそうです。
上位ビットを
\ket{k} \ket{k}\ket{0}
(1)
k=0 最上位ビットを
X \left(\sqrt{0.32}\ket{0} + \sqrt{0.68}\ket{1} \right)\ket{0} \xrightarrow{X_{q_1}} \left(\sqrt{0.32}\ket{1} + \sqrt{0.68}\ket{0} \right)\ket{0} \\ \xrightarrow{CRy_{q_1,q_0}} \sqrt{0.32}\ket{1} \frac{1}{\sqrt{0.32}} \left(\sqrt{0.16}\ket{0} + \sqrt{0.16}\ket{1} \right) + \sqrt{0.68}\ket{0} \ket{0} \\ \xrightarrow{CZ_{q_1,q_0}} \sqrt{0.32}\ket{1} \frac{1}{\sqrt{0.32}} \left(\sqrt{0.16}\ket{0} - \sqrt{0.16}\ket{1} \right) + \sqrt{0.68}\ket{0} \ket{0} \\ \xrightarrow{X_{q_1}} \sqrt{0.32}\ket{0} \frac{1}{\sqrt{0.32}} \left(\sqrt{0.16}\ket{0} - \sqrt{0.16}\ket{1} \right) + \sqrt{0.68}\ket{1} \ket{0} \\ = \sqrt{0.16}\ket{00} - \sqrt{0.16}\ket{01} + \sqrt{0.68}\ket{10} (2)
k=1 最上位ビットを反転させる必要がないため、第２量子ビットに制御回転ゲートを適用すればよさそうです。
また、符号を反転させたいところ（ただし、
\ket{0} CX CZ またその後、逆演算でリセットすれば下式に状態になります。
\sqrt{0.16}\ket{00} - \sqrt{0.16}\ket{01} + \sqrt{0.68}\ket{10} \\ \xrightarrow{CRy_{q_1,q_0}} \sqrt{0.16}\ket{00} - \sqrt{0.16}\ket{01} + \sqrt{0.68}\ket{1} \frac{1}{\sqrt{0.68}} \left(\sqrt{0.64}\ket{0} + \sqrt{0.04}\ket{1} \right) \\ = \sqrt{0.16}\ket{00} - \sqrt{0.16}\ket{01} + \sqrt{0.64}\ket{10} + \sqrt{0.04}\ket{11} \\ \xrightarrow{CX{q_1,q_0}} \sqrt{0.16}\ket{00} - \sqrt{0.16}\ket{01} + \sqrt{0.64}\ket{11} + \sqrt{0.04}\ket{10} \\ \xrightarrow{CZ{q_1,q_0}} \sqrt{0.16}\ket{00} - \sqrt{0.16}\ket{01} - \sqrt{0.64}\ket{11} + \sqrt{0.04}\ket{10} \\ \xrightarrow{CX{q_1,q_0}} \sqrt{0.16}\ket{00} - \sqrt{0.16}\ket{01} - \sqrt{0.64}\ket{10} + \sqrt{0.04}\ket{11}
-
最後に
これでめでたく振幅エンコーディングが実装できそうです。振幅エンコーディングを Blueqat を用いて実装し、実行してみました。なお、
m=16 norm_vec = normalize(tgt_vec) print("target vec: %s, norm: %s" % (norm_vec, np.linalg.norm(norm_vec))) state = qc.run(backend="numpy") nqubit = int(np.log2(np.size(state))) for i in range(2**nqubit): if state[i] != 0: print('+({:.6f})*|{number:0{width}b}>'.format(state[i],number=i,width=nqubit),end='') print("\n state: ", bin(i)[2:].zfill(nqubit), "amplitude: ", state[i])target vec: [ 0.4 -0.4 -0.8 0.2], norm: 1.0 +(0.400033+0.000000j)*|0000000000000000000> state: 0000000000000000000 amplitude: (0.4000327997380376+0j) +(-0.400033+0.000000j)*|0100000000000000000> state: 0100000000000000000 amplitude: (-0.4000327997380378+0j) +(-0.799973+0.000000j)*|1000000000000000000> state: 1000000000000000000 amplitude: (-0.7999733486681582+0j) +(0.199975+0.000000j)*|1100000000000000000> state: 1100000000000000000 amplitude: (0.19997539770718653+0j)
プログラム実装時の注意点
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制御回転ゲート適用後の逆演算
制御回転ゲートの実行ごとに逆演算を実行し、データを格納しているレジスタを初期化する必要があることに注意。逆演算は適用していた量子回路を逆向きに作用させていけば良いので、慣れると特に問題にならないと思います。
-
\frac{1}{\pi}\cos^{-1}{(v_i)} m \frac{1}{\pi}\cos^{-1}{(v_i)} \approx \sum_{k=0}^{m-1} 2^{-k-1} b_k \left(\frac{1}{\pi} \cos^{-1}{(v_i)} \right) の計算をプログラムで実装する必要があります。付け焼き刃で準備したものを、備忘録として参考に残します。
小数を二進数表示した
k 2^{-k} from decimal import Decimal def bit_precision(f, bit_precision): # 0 < f(= (1/pi) * arccos(v_i)) < 1 を (bit_precision) bit精度で表現 # Used for calculating the number of times to multiply by 2^-k dec=Decimal(str(f)) Bin='' nth=0 first=0 multi_flag = [] rot_rad = [] while dec: if nth == bit_precision: break if dec >= 1: Bin += '1' dec = dec -1 if first==0: first=nth multi_flag.append(1) rot_rad.append(2**(-nth)) else: if nth!=0: Bin += '0' multi_flag.append(0) rot_rad.append(0) elif nth==0: Bin +='0.' # don't append because it's first part dec*=2 nth+=1 if nth-first==bit_precision: break return sum(rot_rad), multi_flag
3量子ビット及びそれ以上の量子ビットの場合
基本的にやることは同じですが、時間があるときに具体的に備忘録として残していきます。
うまく実装できると下記のようになります（
対象とするベクトルの要素に0が入っていたとしても同様で、それに対応したアドレス量子ビットの確率振幅が0になっていることが分かります。
norm_vec = normalize(tgt_vec)
print("target vec: %s, norm: %s" % (norm_vec, np.linalg.norm(norm_vec)))
state = qc.run(backend="numpy")
nqubit = int(np.log2(np.size(state)))
for i in range(2**nqubit):
if state[i] != 0:
print('+({:.6f})*|{number:0{width}b}>'.format(state[i],number=i,width=nqubit),end='')
print("\n state: ", bin(i)[2:].zfill(nqubit), "amplitude: ", state[i])
target vec: [-0.41702883 -0.41702883 0. -0.20851441 0.62554324 -0.20851441
0. -0.41702883], norm: 1.0
+(-0.417081+0.000000j)*|00000000000000000000>
state: 00000000000000000000 amplitude: (-0.4170806865237128+0j)
+(-0.417081+0.000000j)*|00100000000000000000>
state: 00100000000000000000 amplitude: (-0.4170806865237128+0j)
+(-0.208500+0.000000j)*|01100000000000000000>
state: 01100000000000000000 amplitude: (-0.2085004203847322+0j)
+(0.625526+0.000000j)*|10000000000000000000>
state: 10000000000000000000 amplitude: (0.6255264988585799+0j)
+(-0.208444+0.000000j)*|10100000000000000000>
state: 10100000000000000000 amplitude: (-0.2084435314653194+0j)
+(-0.416993+0.000000j)*|11100000000000000000>
state: 11100000000000000000 amplitude: (-0.41699264978317346+0j)
今後の興味あること
- 量子機械学習
- VQLSのようなNISQで実行可能なアルゴリズムのシミュレータを用いた実行
（ラプラス方程式やポアソン方程式をとりあえず想定しています） - メタバース上でシミュレーション可視化及びデバッグ作業の効率化
- より少ない量子ビットで多様なデータを効率的にエンコードする方法
- 数値誤差が今後の演算により増幅するのか或いは減衰するのか、その仕組みへの理解
Discussion