【数学】コラッツ予想を解きたい！06

前回のまとめ

前回は次の定理を証明しました：

Thm：構造一致の別表現

集合 $A$ 上に２つのツリー $T_1=\mathrm{Tree}(t_1),\ T_2=\mathrm{Tree}(t_2)$ がある。また、$E \subset A$ を $T_2$の正規分割とする。
このとき、次の $(\mathrm{i}), \ (\mathrm{ii})$は同値である：

$$\begin{align*} & (\mathrm{i}) \qquad T_1 と T_2 の E 構造は一致 \\ \\ & (\mathrm{ii}) \qquad \exists 全単射 \sigma:A \rightarrow A, \ \forall a \in A, \\ & \qquad a を起点とする t_1 の巡回列と \sigma(a) を起点とする t_2 の巡回列は一致 \end{align*}$$

またこの定理から着想を得て、次のような概念を定義しました：

Def：分割Eによるツリーの正規化

集合 $A$ 上のツリー $T$ と分割 $E$ について、$a,\ b \in A$ に対し、

$$a を起点とする巡回列と b を起点とする巡回列が一致するならば、 a \sim b$$

によって同値関係 $\sim$ を定める。
このとき、$T$ から新たなツリー $T / \sim$ を生み出すことを、$E$ による正規化、もしくは単に正規化と定義する。

今回は

今回はついに、コラッツ予想を直接考えてみます。
とりあえず、次のようなツリーを定義しておきます：

ツリーの例：$\mathbb{R}$上のコラッツ予想を表すツリー

$\mathbb{R}$ 上でツリー $T=\mathrm{Tree}(t)$ を、$E \subset \mathbb{R}$ を用いて、次のように定義する：

$$t(x) := \left\{ \begin{array}{ll} x/2 & (x \in E) \\ 3x+1 & (x \in \mathbb{R} \setminus E) \end{array} \right.$$

分割 $E$ も定義しなければなりません。
今までの流れで言うと、すべての巡回列のパターン（$0, 1$ からなる数列全体の集合）を持つような分割を考えたくなるでしょう。
この分割とはどのようなものでしょうか。

実数集合上の偶奇とは何か

分割とは、偶奇性の一般化だったので、このようなタイトルにしました。

では考えていきましょう。
例えば次のような場合は...

$T$ の一部：

このような要素に対しては、

$$t_e(t_e(t_o(x))))=x$$

を考えると、

$$\frac{3x+1}{2^2}=x$$

より、$x=1$ となります。つまり、$1$ は巡回列 $0,\ 1,\ 1,\ 0,\ 1,\ 1,\ ...$ に対応し、
$1 \in \mathbb{R} \setminus E$ となる...かもね。

そう「かもね」なんです。
この議論には穴があります。どこか分かるでしょうか？

考えてみましょう。

例えば、$E$ を前回と同様、

$$E = \sum_{i \in \mathbb{Z}}\ (2i-1,\ 2i \rbrack$$

としてみます。
すると、例えば、$0.8$ を起点とする巡回列は何になるでしょうか？

$T$ の一部：

これも $0,\ 1,\ 1,\ 0,\ 1,\ 1,\ ...$ の巡回列になってしまうのです。

つまり、巡回列 $0,\ 1,\ 1,\ 0,\ 1,\ 1,\ ...$ があるよ～ってだけでは $1 \in \mathbb{R} \setminus E$ になるとは限らないということなんです。$1 \in \mathbb{R} \setminus E$ とさせたいのなら、追加の条件が必要になってきます。

thm： $1 \in \mathbb{R} \setminus E$

上で定義した $T$ が巡回列 $0,\ 1,\ 1,\ 0,\ 1,\ 1,\ ...$ を持つとする。また、次のような完備性を備えているとする：

$$巡回列の一致性： a_1\ \sim \ a_2\ \sim \ a_3\ \sim ... \\ を満たす任意の数列 \{ a_i \}_i に対して、\\ もし \alpha に収束するなら、\alpha の巡回列も一致する。$$

このとき、$1 \in \mathbb{R} \setminus E$ である。

proof.)

$a \in \mathbb{R}$ を起点とする巡回列が $0,\ 1,\ 1,\ 0,\ 1,\ 1,\ ...$ になると仮定する。 $a \in \mathbb{R} \setminus E$ である。
$a = 1$ ならば題意は示されるから、$a \neq 1$ とする。
また、

$$\begin{align*} & (\mathrm{I}) \qquad a_1 = a \\ & (\mathrm{II}) \qquad \forall i \in \mathbb{N}, \quad a_{i+1} = t_e(t_e(t_o(a_i))) \end{align*}$$

によって数列 $\{ a_i \}$ を定義する。このとき、任意の $a_i$ の巡回列は等しい。
また、$d_i := 1 - a_i$ とすると、

$$\begin{align*} a_{i+1} &= \frac{3 \cdot a_i +1}{4} \\ \\ 1 &= \frac{3 \cdot 1 + 1}{4} \end{align*}$$

より、両辺の差を取って、

$$d_{i+1} = \frac{3}{4} d_i$$

となる。よって、数列 $\{ a_i \}$ は $1$ に収束する。
仮定より、$1 \in \mathbb{R} \setminus E$ となる。（証明終）

完備性を追加すれば、$1 \in \mathbb{R} \setminus E$　を示すことができました！

では次に、ループする前の要素に対してはどうなるでしょうか？
例えば、

$$f_o(0)=1$$

より、$0$ は分かるのでしょうか。
やってみましょう。

仮説：

上で定義した $T$ が巡回列 $0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 0,\ 1,\ 1,\ ...$ を持つとする。また、次のような完備性を備えているとする：

$$巡回列の一致性： a_1\ \sim \ a_2\ \sim \ a_3\ \sim ... \\ を満たす任意の数列 \{ a_i \}_i に対して、\\ もし \alpha に収束するなら、\alpha の巡回列も一致する。$$

このとき、$0 \in \mathbb{R} \setminus E$ である。

proof.)

$a \in \mathbb{R}$ を起点とする巡回列が $0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 0,\ 1,\ 1,\ ...$ になると仮定する。 $a \in \mathbb{R} \setminus E$ である。
$a = 0$ ならば題意は示されるから、$a \neq 1$ とする。
$0 \in \mathbb{R} \setminus E$ を見るためには、$0$ に収束するような数列 $\{ a_i \}$ を定義したい。

$$\begin{matrix} f(a) & \rightarrow \rightarrow \rightarrow & f^4(a) & \rightarrow \rightarrow \rightarrow & f^7(a) & \rightarrow \rightarrow \rightarrow & f^{10}(a) & \rightarrow \rightarrow \rightarrow & ... \\ \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \\ a & & a_2 & & a_3 & & a_4 & & ... \end{matrix} \$$

このようなイメージから、

$$\begin{align*} & (\mathrm{I}) \qquad a_1 = a \\ & (\mathrm{II}) \qquad \forall i \in \mathbb{N}, \quad a_{i+1} = t_o^{-1}(t_e(t_e(t_o(t_o(a_i))))) \end{align*}$$

によって数列 $\{ a_i \}$ を定義する。
しかし、$a_i \in \mathbb{R} \setminus E$ とは限らない...

というわけで、不成立ですね。

巡回列 $0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 0,\ 1,\ 1,\ ...$ があるよ～ってだけでは、巡回列の完備性を兼ね備えていたとしても $0$ は決定できないということになります。しかし、他のいろいろな巡回列も持つと仮定すれば、全体との兼ね合いから、もしかしたら $0$ も決定できるかもしれません、

そしてこのような発想をすると、いろいろ気になることが出てきます。
なお、今議論している $T$ をコラッツ木と呼ぶことにします。

仮説いろいろ

仮説１：well-defined性

コラッツ木 $T$ がすべての巡回列のパターン（$0, 1$ からなる数列全体）を持つとする。
このとき、そのような分割 $E$ は存在するか？

仮説２：巡回列の完備性

コラッツ木 $T$ がすべての巡回列のパターン（$0, 1$ からなる数列全体）を持つとする。このとき、$T$ は次のような完備性を備える：

$$巡回列の一致性： a_1\ \sim \ a_2\ \sim \ a_3\ \sim ... \\ を満たす任意の数列 \{ a_i \}_i に対して、\\ もし \alpha に収束するなら、\alpha の巡回列も一致する。$$

巡回列 $0,\ 1,\ 1,\ 0,\ 1,\ 1,\ ...$ のみを考えた場合は完備性が必要でしたが、他すべての巡回列を考えた場合、なんかいろいろ制約が発生し、なんやかんや完備性を獲得するか？　という話題です。

仮説３：有理数、無理数

コラッツ木 $T$ がすべての巡回列のパターン（$0, 1$ からなる数列全体の集合）を持つとする。
$T$ 正規化することを考えると、

・最終的にループするノードは、有理数を起点とする巡回列
・発散するノードは、無理数を起点とする巡回列

となる。

前回（05）で最後に話題にした $t(x) = 2x$ の話でいうと、循環小数(有理数)はループし、循環しない数(無理数)は発散するということです。

仮説４：well-defined性と完備性（有理数）

有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ 上のコラッツ木 $T$ がすべてのループする巡回列（$0, 1$ からなる数列全体の内、最終的にループするもの）を持つとする。
このとき、$T$ が存在し、次のような完備性を備える：

$$巡回列の一致性： a_1\ \sim \ a_2\ \sim \ a_3\ \sim ... \\ を満たす任意の数列 \{ a_i \}_i に対して、\\ もし \alpha に収束するなら、\alpha の巡回列も一致する。$$

仮説５：範囲について

仮説１～３について、コラッツ木は $\mathbb{R}$ 上という前提で考えてきた。
次のように修正するべきか？

・$\mathbb{R}$ に $\infty$ を追加する
・$\mathbb{R}$ を $\mathbb{R}_{>0}$　に変更する
・$0 \in \mathbb{R}$ に対してのみ、特別な扱いをする

仮説１～５まで、いろいろ書きました。正しいんでしょうか？　おそらく完璧に正しいものはないと思いますが、いくつかの修正で成立するものがあったらいいな、という感覚です。発想の方向性としてはこんなイメージで、という気持ちでやっています。
そして、ここに来てやっとなのですが、コラッツ予想というのはツリーうんぬんというよりも、偶奇性を実数全体に拡張できるか？　というゲームのような気もしてきました。

偶奇性の拡張という発想を持つと、$\mathbb{Q}$ 上ですが、一つ、自然な拡張はありますよね。

仮説６：自然な有理数上の偶奇性

任意の $p \in \mathbb{Q}$ について、

$$p = \frac{m}{n} \qquad ( m,\ n は互いに素な整数で n>0)$$

と表した時、

$$m は偶数 \ \Leftrightarrow \ p \in E$$

によって、$E \subset \mathbb{Q}$ を定める。
このとき、コラッツ木 $T$ はすべてのループする巡回列を持つか？

これはどうなんでしょうかね。
正直、全然分からないです...

今後の方針

さて、いろいろ仮説を書いたのはいいのですが、はっきり言って、これらの仮説を考えるためのツールがありません。

今までやったことの流れとしては、

ツリーについての議論をする
↓
偶奇性も入れた方がいいんじゃね
↓
巡回列って概念入れるべきだ
↓
巡回列中心に考えてみよう
↓
仮説がたくさん生まれた

こんな感じ。
仮説が生まれて、今までやったこと自体は悪くなかったと思います。
ただ、ツリーの理解度を上げるという方針でやってきましたが、これからはツリーの理解度を上げると言うよりも、偶奇性（分割）の話が主役なんじゃないかと思い始めました。

そして、直近の目標は、コラッツ木ではなく、それを簡単にした以下のツリーについて仮説が成り立つかです：

ツリーの例：$\mathbb{R}$上の簡易ツリー

$\mathbb{R}$ 上でツリー $T=\mathrm{Tree}(t)$ を、$E \subset \mathbb{R}$ を用いて、次のように定義する：

$$t(x) := \left\{ \begin{array}{ll} x/2 & (x \in E) \\ x+1 & (x \in \mathbb{R} \setminus E) \end{array} \right.$$

３倍をなくしただけのものです。
これでもかなり複雑ですが、これ以上の単純化もどうすればいいか分からないところです。

次回からは偶奇性（分割）についての議論を進める方針でいきたいと思います。では。