【数学】コラッツ予想を解きたい！13

前回のまとめ

前回は、一般の $t$ に対する $j_t$ が全単射になることを見ました。

Thm：巡回列空間上で一般ツリーはすべての巡回列をちょうど１つずつ持つ

巡回列空間 $\mathbb{J}$ 上において、奇数集合を $O$、偶数集合を $E$ とする。関数 $t:\mathbb{J} \rightarrow \mathbb{J}$ を２つの全単射写像

$$t_o:O \rightarrow \mathbb{J} \\ t_e:E \rightarrow \mathbb{J}$$

を用いて、

$$t(x) := \left\{ \begin{align*} t_e(x) \quad & (x \in E) \\ t_o(x) \quad & (x \in O) \end{align*} \right.$$

と表せるとする。
さらに、任意の $n \in \mathbb{N}$ に対し、

$$\begin{align*} & a-b\ は \ 2^n\ の倍数\\ \Leftrightarrow \quad & t_e(a)-t_e(b)\ は \ 2^{n-1}\ の倍数 または t_o(a)-t_o(b)\ は \ 2^{n-1}\ の倍数 \end{align*}$$

が成り立つとする。
このとき、$a \in \mathbb{J}$ を起点とする $t$ による巡回列 $j_t(a) \in \mathbb{J}$ は次のように定義される：

$$\forall i \in \mathbb{N},\ (j_t(a))_i = \chi_O (t^{i-1}(a))$$

ただし、$\chi_O$ は $O$ の定義関数である：

$$\chi_O(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & (x \in O) \\ 0 & (x \in E) \end{array} \right.$$

このとき、$t$ による巡回列全体の集合はすべての巡回列をちょうど一つずつ持つ。つまり、

• すべての巡回列を持つ

$$\forall a \in \mathbb{J},\ \exists b \in \mathbb{J}, \quad j_t(b) = a$$

• 一意性

$$\forall a,\ b \in \mathbb{J}, \quad j_t(a) = j_t(b)\ \Rightarrow \ a=b$$

を満たす。

前回の最後ではいくつか仮説を見ました。

より一般のツリーに対する全射性

仮説：任意ツリーの巡回列は全射

全単射の２つの関数

$$t_o:O \rightarrow \mathbb{J} \\ t_e:E \rightarrow \mathbb{J}$$

を用いて、

$$t(x) := \left\{ \begin{align*} t_e(x) \quad & (x \in E) \\ t_o(x) \quad & (x \in O) \end{align*} \right.$$

と表せる $t$ について、$j_t: \mathbb{J} \rightarrow \mathbb{J}$ は全射となるか？

前回の最後にこれを見てました。

簡単そうに見えて難しい問題です。

以下のような２分法でいけるかと思いましたが、精査してみるとダメでした。

２分法による証明（失敗）

$\mathbb{J}$ を閉区間 $[0,\ 1] \subset \mathbb{R}$ に落とし込めば、発散することはありませんよね。

前半部分は前回と同じです

proof.) (前半)

任意に $\alpha \in \mathbb{J}$ を取る。

ここで、$\alpha$ と任意の自然数 $n \in \mathbb{N}$ に対応した $f_n=t^n$ を考える。つまり関数

$$t_i = \left\{ \begin{align*} t_e \quad & (\alpha_i = 0) \\ t_o \quad & (\alpha_i = 1) \end{align*} \right.$$

の合成によって

$$f_n:= \prod_{i=1}^n t_i$$

と定義する。
ここで集合 $J_n \subset \mathbb{J}$ を $J_n=f_n^{-1}(\mathbb{J})$ と定義すると、

$$f_n: J_n \rightarrow \mathbb{J}$$

は全単射となる。
また、集合の列 $\{ J_n \}_n$ は減小列である。

（ここまでは前回と同じ）

proof.) （後半）

任意の $a \in \mathbb{J}$ に対し、２進数とみなすことで、$\mathbb{J} \rightarrow [0,\ 1] \subset \mathbb{R}$ への一対一対応を考える。つまり、

$$a \quad \mapsto \quad a_1 \cdot 2^{-1} + a_2 \cdot 2^{-2}+ a_3 \cdot 2^{-3} + ...$$

として、閉区間 $[0,\ 1] \subset \mathbb{R}$ への対応を考える。
ここで各 $J_n$ は $K_n \subset [0,\ 1]$ に写るとする。
これらは空集合ではないので、

$$\forall n \in \mathbb{N},\ \exists r \in [0,\ 1],\ \quad r \in K_n$$

が言える。
このとき、

$$\forall n \in \mathbb{N},\ \exists r \in [0,\ 1/2],\ \quad r \in K_n$$

または

$$\forall n \in \mathbb{N},\ \exists r \in [1/2,\ 1],\ \quad r \in K_n$$

が成り立つ。
理由は、以下のような背理法に因る。

$$\exists n \in \mathbb{N},\ \forall r \in [0,\ 1/2],\ \quad r \notin K_n$$

かつ

$$\exists n \in \mathbb{N},\ \forall r \in [1/2,\ 1],\ \quad r \notin K_n$$

を背理法の仮定とする。
$K_n$ は減少列だから、十分大きな $n$ に対して、

$$\forall r \in [0,\ 1],\ \quad r \notin K_n$$

が成り立ってしまう。これは矛盾である。
よって、

$$\forall n \in \mathbb{N},\ \exists r \in [0,\ 1/2],\ \quad r \in K_n$$

または

$$\forall n \in \mathbb{N},\ \exists r \in [1/2,\ 1],\ \quad r \in K_n$$

が成り立つ。
ここで、$[0,\ 1/2]$ について成り立つなら、$I_1 = [0,\ 1/2]$ とし、そうではないなら $I_1 = [1/2,\ 1]$ とする。
さらに、$I_1$ を２つの区間に分けて同様にすることで $I_2$ も定義できる。以下、$\ I_3,\ I_4,\ ...$ も定義できる。
すると、

$$\forall n,\ m \in \mathbb{N},\ \exists r \in I_m,\ \quad r \in K_n$$

と言える。
ここで実数の完備性から、ある $s \in [0,\ 1]$ が存在して、すべての $I_m$ に対し、$s \in I_m$ となる。

この $s$ が求めるものだということを示すために、背理法を使います。

$$\exists n \in \mathbb{N},\ \quad s \notin K_n$$

と仮定する。

例えば、$K_n=(0,\ 2^{-n})$ という開区間とすると、$\{ K_n \}_n$は減少列だが、共通の要素を持たないような例になっています。

つまり、各 $K_n$ が閉集合であってくれれば...という気もしますが、そもそもそんなことが言えるのかという話もあります。

あと、上の議論でダメなところは、そもそも $\mathbb{J} \rightarrow [0,\ 1]$ への全単射なんてないという話ですね。。。

例えば、

$$0.1000000..._{(2)} \\ 0.0111111..._{(2)}$$

は２進法では、どちらも $1/2$ になるんですよね。

となると、既存の空間をそのまま使うのは不都合が大きそうという感じもしてきました。
なので、巡回列空間上に頑張って位相を入れるということを考えてみましょう。

巡回列空間に位相を導入する

巡回列空間を距離空間にしてみます。

Def：巡回列空間上の距離

距離 $d:\mathbb{J} \times \mathbb{J} \rightarrow \mathbb{R}$ を以下のように定義する：

$$d(x,\ x) := 0$$

$x \neq y$ のとき、

$$d(x,\ y):=2^{-n}$$

ただし、$n \geq 0$ は、 $x,\ y$ が $n$ 項まで一致するが $n+1$ 項目は異なることによって決定されるとする。

これは以下の距離空間の定義を満たす：

$$\begin{align*} &d(x,\ x)=0 \\ &d(x,\ y)>0 \quad (x \neq y) \end{align*}$$

$$d(x,\ y)=d(y,\ x)$$

• 3. 三角不等式

$$d(x,\ y) + d(y,\ z) \geq d(x,\ z)$$

これらは明らかですね。

そして、開集合、閉集合、連続関数も定義しておきますか。おそらく $t$ に連続性は必要っぽいので。

開集合の定義のためにまず近傍を定義します。

def：近傍

$x \in \mathbb{J}$ に対し、任意の $\varepsilon > 0$ を用いて、以下のように表せられる集合を近傍という：

$$B(x;\ \varepsilon):= \{ \ y\ |\ d(x,\ y) < \varepsilon \ \}$$

Def：開集合

$U \subset \mathbb{J}$ について、

$$\forall x \in U,\ \exists \delta > 0,\ \quad B(x;\ \delta) \subset U$$

を満たすとき、開集合であるという。

def：閉集合

$U \subset \mathbb{J}$ が閉集合であるとは、その補集合 $\mathbb{J} \setminus U$ が開集合であることである。

Def：連続関数

関数 $f: \mathbb{J} \supset U \rightarrow \mathbb{J}$ が連続であるとは、任意の開集合 $V \subset \mathbb{J}$ に対し、その逆像 $f^{-1}(V)$ もまた開集合になることである。

普通の定義です。
本シリーズではなるべく既存の定理を使わない方向でやりたいので、何か使いたい定理があるなら、基本的には定義&証明しようと思ってます

収束に関する話を見ていきます。

def：収束

点列 $a_n \in \mathbb{J}$ が $\alpha \in \mathbb{J}$ に収束するとは、

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n > N,\ \quad d(a_n, \alpha) < \varepsilon$$

Def：巡回列空間上の全順序

任意の異なる２数 $a,\ b \in \mathbb{J}$ に対し、ある項まで一致し、ある項で不一致となる。不一致となるのは、第$n$項であるとする。このとき、

$$a_n \neq b_n$$

であり、片方が $0$ でもう片方が $1$ となる。
もし、$a_n = 0,\ b_n = 1$ ならば、$a < b$
$a_n = 1,\ b_n = 0$ ならば、$a > b$
と定義する。

以下の２点は確認しておきましょう。

• 1. 推移律

$$a \leq b \ \land \ b \leq c \quad \Rightarrow \quad a \geq c$$

proof.)

どちらかが等しい時は明らかなので、$a < b\ \land \ b < c$ と仮定する。
ある $n, m \in \mathbb{N}$ が存在し、$a, b$ が $n-1$ 項まで一致し、$a_n=0,\ b_n=1$ 、$b, c$ が $m-1$ 項まで一致し、$b_m=0,\ c_m=1$ となる。
$n \neq m$ であり、
$n < m$ のとき、

$$a_n=0,\ c_n=b_n=1$$

$n > m$ のとき、

$$a_m=b_m=0,\ c_m=1$$

となって、$a < c$ となる。（証明終）

• 2. 反対称律

$$a \leq b \ \land \ b \leq a \quad \Rightarrow \quad a = a$$

これは明らか。

順序を定義したのは、次の重要な性質を見るためです

Thm：単調増加列は収束する

巡回列空間内の単調増加列は収束する。

def：閉区間

$\mathbb{J}$ 上の閉区間を以下のように定義する：

$$[a,\ b] := \{ \ x \ | \ a \leq x \leq b \ \}$$

proof.)

任意に巡回列空間内の単調増加列 $\{ a_n \}_n$ をとる。
閉区間 $I_0 = [m_0,\ M_0] = \mathbb{J}$ とすると、

$$m_0 = 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ ... \\ M_0 = 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ ...$$

である。
ここで、第一項が $0$ か $1$ かで分けることを考える。
このとき、無限個の $a_n$ を持つ方を選ぶ。
その区間を $I_1 = [m_1,\ M_1]$ と書くことができ、

$$m_1 = i_1,\ 0,\ 0,\ 0,\ ... \\ M_1 = i_1,\ 1,\ 1,\ 1,\ ...$$

となる。ただし、$i_1$ は $0,\ 1$ のどちらかである。
このような２分法を繰り返すことで、

$$\forall n \in \mathbb{N},\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall m \geq N,\ \quad a_m \in I_n$$

となる閉区間列 $I_n := [m_n, M_n]$ とそれを特徴付ける数列 $\{ i_n \}_n$ を決定できる。
ここで、$i=\{ i_n \}_n$ とする。

$$a_m \in I_n$$

のとき、$i$ と $a_m$ は少なくとも第$n$項まで一致する。よって、

$$d(i,\ a_m) \leq 2^{-n}$$

となる。
よって、任意の $\varepsilon > 0$ に対し、$2^{-n} < \varepsilon$ を満たす $n \in \mathbb{N}$ が存在し、

$$\exists N \in \mathbb{N},\ \forall m \geq N,\ \quad a_m \in I_n$$

となる。よって、

$$\exists N \in \mathbb{N},\ \forall m \geq N,\ \quad d(i,\ a_m) \leq 2^{-n} < \varepsilon$$

となる。
以上より、

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall m > N,\ \quad d(i, a_m) < \varepsilon$$

となって、$\{a_n \}_n$ は $i$ に収束する。（証明終）

単調減少列についても同様ですね。
次に閉集合内の完備性も見ておきましょう。

thm：閉集合内の完備性

閉集合 $U$ 内の数列 $a_n \in \mathbb{J}$ は $\alpha \in \mathbb{J}$ に収束するとする。
このとき、$\alpha \in U$ となる。

proof.)

背理法を用いる。
$\alpha \notin U$ を背理法の仮定とする。
$\mathbb{J} \setminus U$ は開集合だから、$B(\alpha;\ \varepsilon) \subset \mathbb{J} \setminus U$ となる $\varepsilon > 0$ が存在する。
よって十分大きな $n$ に対して、$a_n \in B(\alpha;\ \varepsilon) \subset \mathbb{J} \setminus U$ となってしまうがこれは矛盾である。（証明終）

次の定理が示したかったことです。

Thm：空でない減少閉集合は共通の要素を持つ

空でない閉集合列 $J_n \in \mathbb{J}$ について、

$$J_1 \supset J_2 \supset J_3 \supset J_4 \supset...$$

とする。このとき、ある $a \in \mathbb{J}$ が存在して、すべての $J_n$ に対し $a \in J_n$ となる。

proof.)

Thm：単調増加列は収束する と同様の２分法を用いることにより、

$$\forall n,m \in \mathbb{N},\ \exists a \in J_m,\ \quad a \in I_n$$

となる閉区間の列 $I_n$ とそれに付随した $i \in \mathbb{J}$ が取れる。
ここで、点列 $a_n \in \mathbb{J}$ を

$$a_n \in J_n \cap I_n$$

によって１つ選ぶ。これは選択公理によって保証されている。
このとき、Thm：単調増加列は収束する の証明と同様の議論をすれば、$a_n$ は $i$ に収束することが分かる。

ここで任意に $J_n$ をとる。

$$\forall m > n,\ \quad a_m \in J_n$$

となるから、閉集合内の完備性より、$i \in J_n$ となる。
これは任意の $J_n$ に対して成り立つ。（証明終）

全射の証明

Thm：任意ツリーの巡回列は全射

全単射の２つの関数

$$t_o:O \rightarrow \mathbb{J} \\ t_e:E \rightarrow \mathbb{J}$$

を用いて、

$$t(x) := \left\{ \begin{align*} t_e(x) \quad & (x \in E) \\ t_o(x) \quad & (x \in O) \end{align*} \right.$$

と表せる連続関数 $t$ について、$j_t: \mathbb{J} \rightarrow \mathbb{J}$ は全射となる。

連続性を追加しています。

thm：開集合の和集合は開集合

$\mathbb{J}$ 上において、開集合列 $U_n$ があったとき、その和集合

$$U=\bigcup_n U_n$$

もまた、開集合である。

proof.)

任意に $a \in U$を取る。
ある $n \in \mathbb{N}$ が存在して、$a \in U_n$ となる。
定義より、ある近傍 $B \subset U_n$ があって、$a \in B$ となる。
よって、$a \in B \subset U_n \subset U$ となる。（証明終）

以下は直接の系である。

thm：閉集合の共通部分は閉集合

$\mathbb{J}$ 上において、閉集合の共通部分は閉集合である。

関数の合成についても見ておく必要があるようです。

thm：連続関数の合成は連続

２つの連続関数 $f: \mathbb{J} \supset U_1 \rightarrow \mathbb{J},\ g: \mathbb{J} \supset U_2 \rightarrow \mathbb{J}$ について、
その合成 $f \circ g$ は連続である。

proof.)

任意の開集合 $U$ に対し、$g^{-1}(U)$ は開集合。$f^{-1}(g^{-1}(U))$ も開集合。（証明終）

必要なところを少し追加したので、証明に入ります。

proof.)

任意に $\alpha \in \mathbb{J}$ を取る。

ここで、$\alpha$ と任意の自然数 $n \in \mathbb{N}$ に対応した $f_n=t^n$ を考える。つまり関数

$$t_i = \left\{ \begin{align*} t_e \quad & (\alpha_i = 0) \\ t_o \quad & (\alpha_i = 1) \end{align*} \right.$$

の合成によって

$$f_n:= \prod_{i=1}^n t_i$$

と定義する。
ここで集合 $J_n \subset \mathbb{J}$ を $J_n=f_n^{-1}(\mathbb{J})$ と定義すると、

$$f_n: J_n \rightarrow \mathbb{J}$$

は全単射となる。
また、集合の列 $\{ J_n \}_n$ は減小列である。

全体集合 $\mathbb{J}$ は開集合であり、閉集合でもある。
各 $J_n$ についても、もし開集合かつ閉集合ならば、
$f$ の連続性より、$t_e^{-1}(J_n),\ t_o^{-1}(J_n)$ はともに開集合であり、

$$t_e^{-1}(J_n) = (\mathbb{J} \setminus t_o^{-1}(J_n)) \cap J_n \\ t_o^{-1}(J_n) = (\mathbb{J} \setminus t_e^{-1}(J_n)) \cap J_n$$

より、閉集合でもある。よって、$J_{n+1}$ も開集合かつ閉集合となる。
帰納法により、$J_n$ は常に閉集合となる。

よって、Thm：空でない減少閉集合は共通の要素を持つより、ある $a \in \mathbb{J}$ が存在して、すべての $J_n$ に対し、$a \in J_n$ となる。

任意の $n \in \mathbb{N}$ について、
$a \in J_n$ より、$j_t(a)$ の第 $n$ 項までは $\alpha$ と一致する。
$n$ は任意なので、$j_t(a) = \alpha$ となる。
以上より全射性は示された。（証明終）

かなり綺麗に証明できました。

既存の概念を定義から導入したりしましたが、やってみて思うのは、言葉をいろいろ定義するのは見通しを良くするうえで大事なのかもしれませんね。

今回は区切りが良いのでこの辺りで。では。