足してもかけても同じになる2以外の数を求める

問題

$2+2=2\times2=4$です。このように2つの正の数を足してもかけても同じになる2以外の数を小数点一桁の範囲ですべて求めなさい。

方向性

小数点一桁は10倍すれば整数になるので整数問題に持ち込める。整数問題の方向性は基本的に以下の2点である。

• まずありえる範囲を絞り込む
• 対象となる整数が有限個になったらすべて書き出せば求まる

なのでまずは範囲を絞る→あり得る数を全部書き出して求めるをやればよい。

回答

求める数を$x, y$とし、対称性から$x\geq y>0$としても一般性を失わない。よって以下の式が成立する。

$$x+y = xy$$

ここで$x+y \leq 2x$より$xy \leq 2x$で$x>0$から$y\leq 2$である。$(x,y)=(2,2)$は答えであり、$y=2$の時は$x=2$になるので$y \ne 2$とすると$y<2$。

ここで$y\leq 1$とする。$xy\leq x$より$x+y\leq x$となり$y\leq 0$となり、$y>0$にならない。

よって$1<y<2$となる。なので$y=1+0.1y_1 (y_1\in \mathbb{N}, 1\leq y_1 \leq 9)$と表せる。よって

$$x(1+0.1y_1) = x+1+0.1y_1 \\ 0.1xy_1 = 1+0.1y_1 \\ 0.1y_1(x-1) = 1 \\ y_1(10x-10) = 100$$

$X=10x-10$とすると$x$は小数点一桁の数字なので$X\in \mathbb{N}$である。$100=2^2\times 5^2$より$(y_1, X)$の組は

$(y_1, X)=(1,100),(2,50),(4,25),(5,20)$

の4通りで$(x,y)$は以下の通りになる。

$(x,y)=(11,1.1),(6,1.2),(3.5,1.4),(3,1.5)$

補題

この方法を使えば小数点2桁の範囲も求められる。答えは以下となる。求めてみましょう。

$(x,y)=(101,1.01),(51,1.02),(26,1.04),(21,1.05),(13.5,1.08),\\(11,1.1),(7.25,1.16),(6,1.2),(5,1.25),(3.5,1.4),(3,1.5),(2.25,1.8)$