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E資格で必要な基礎数学（出題対象外）

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学習記録
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はじめに

概要

  • シラバス：E資格2024#2の出題対象外
  • 出題対象外ですが、一部の内容がわからないと後続の内容が理解できない場合があります。出題対象外なので、計算方法や数式を覚えなくでもいいですが、どのようなものを理解した方がいいと思います
  • 行列内容は一番簡単なものしか書きません。後続の勉強で行列の転置とかが必要でしたらまた追記します

キーワード

行列, 行列の計算, 条件付き確率, 期待値,確率変数, 確率分布,
ベルヌーイ分布, マルチヌーイ分布, カテゴリカル分布,
ガウス分布, 正規分布, 多項分布, 二項分布

学習内容

行列の計算

加算

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}

乗算

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{pmatrix} \end{aligned}

期待値

  • 定義：繰り返したときの平均的な見込み値
  • 数式：xは値、pは確率の時に、期待値\mathbb{E}[x]=\displaystyle\sum_{k=1}^n (p_kx_k)

例：サイコロを一回投げる期待値

x:サイコロの点数
p:各点数を表示する確率が均等のため、\frac{1}{6}です

\mathbb{E}[x]=1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+3\cdot\frac{1}{6}+4\cdot\frac{1}{6}+5\cdot\frac{1}{6}+6\cdot\frac{1}{6}=3.5

条件付き確率

  • 定義：ある事象が起きたという条件のもとで、別の事象が起きる確率
  • 数式：P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}　(ただしP(B)>0)
    • P(A \mid B)：Bが起きたときにAが起きる確率（Aの条件付き確率）
    • P(A \cap B)：AかつBが同時に起きる確率
    • P(B)：条件とする事象(B)が起きる確率

例

サイコロの1から3の目が赤色で塗られて、4から6の目は青色で塗られている
このサイコロを投げて青色の目が出た時、この目が偶数である確率を求めよ

Aの事象は目が偶数
Bの事象は目が青色

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{2/6}{1/2}=\frac{2}{3}

確率変数と確率分布

確率変数

標本空間（起こりうることがらの集まり）から値を取る時、どの値をとるかは分からず、確率的に決まる変数のことを示します

  • 離散型確率変数：とびとびの値（整数など）をとる。例：サイコロ、コイン、人数など
  • 連続型確率変数：連続した値（実数）をとる。例：気温、身長、時間、距離など

確率分布

確率変数に対して、各々の値をとる確率全体を表したもの

例：サイコロ2個を振ったときの出た目の和

確率変数Xの取る値 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
  • 標本空間（確率変数）：点数和2~12（テーブルの1行目）
  • 確率分布：確率変数の全ての値を取る確率（テーブルの2行目）

多項分布

  • n回の独立した試行でk種類の結果がそれぞれ特定の回数だけ出る確率です

例

2個サイコロを5回投げて、2,8,9,8,12の結果が出ました
この2,8,9,8,12の結果が出る確率は多項分布です

カテゴリカル分布

  • マルチヌーイ分布とも呼ばれます
  • 多項分布の特殊なケースで、試行回数が1回（n=1）の場合の確率分布を表します
  • k種類の結果から1つだけを選ぶ際の確率分布です。

二項分布

  • n回の独立した試行で2種類の結果がそれぞれ特定の回数だけ出る確率です
  • 確率変数Xが取る値nは2種類しかないです
  • 例えば、コイン投げ

ベルヌーイ分布

  • 二項分布の特殊なケースで、試行回数が1回（n=1）の場合の確率分布を表します

ベルヌーイ試行

  • 2種類のみの結果しか得られないような試行のことを指します
  • 定義
    • 試行の結果は二つの結果のいずれかである
    • 各試行は独立である
    • 成功確率p、失敗確率(1−p)は試行を通じて一定である

ガウス分布

  • 正規分布とも呼ばれます

特徴

  • 平均値±標準偏差内のデータは約全体の68%
  • 平均値±標準偏差2倍内のデータは約全体の95%
  • 平均値±標準偏差3倍内のデータは約全体の99.7%
  • 平均値を中心にして左右対称です
  • 平均値と最頻値と中央値が一致します
  • x軸が漸近線です

まとめ

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