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微分

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学習記録
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はじめに

概要

  • シラバス：E資格2024#2
  • 関数の微分、偏微分、連鎖律の数式と計算
  • 対数の微分
  • ネイピア数e^{x}の微分

キーワード

微分, 偏微分, 連鎖律(チェーンルール),
対数, ネイピア数

学習内容

微分

表記

y=f(x)の場合

  • y'
  • f'(x)
  • \frac{dy}{dx}
  • \frac{df(x)}{dx}
  • \frac{d}{dx}f(x)

数式

  • (x^{a})'=ax^{a-1}　（a：任意の実数）
  • (a)'=0　（a：任意の実数）

例

  • 例1: 𝑓(x)=𝑥^{2}−4𝑥−2
Ans.

f'(𝑥)=2𝑥−4

  • 例2: 𝑓(𝑥)=10
Ans.

f'(𝑥)=0

偏微分

変数を複数持つ多変数関数に対して、一つの変数のみに関して行う微分のこと。
それ以外の変数は定数として考える。

表記

𝑓(𝑥,𝑦)の場合

  • xで偏微分の場合：\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}
  • yで偏微分の場合：\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}

例

  • 例1: 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑥^2+8𝑥𝑦+𝑦^2𝑧+y^4+𝑧^2+6xyz+12
Ans.

\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}= 2x+8y+6yz
\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}= 8x+2yz+4y^3+6xz
\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}= y^2+2z+6xy

連鎖律（チェーンルール）

合成関数（関数の中に関数を組み込んだもの）の微分のこと。

数式

  • y=f(g(x))　→ \frac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)

u=g(x)を追加すると

  • u=g(x),y=f(u)　→　\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

例

  • 例1: y=f(g(x))=(4x+9)^2
Ans.

u=4x+9
y=f(u)=u^2
y'=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}
　=\frac{d(u^2)}{du}\cdot\frac{d(4x+9)}{dx}
　=2u⋅4 \\
　=2(4x+9)\cdot4 \\
　=32x+72

ネイピア数𝒆

「数学定数」と呼ばれる定数です
𝑒=2.7182818284590452……

数式

𝒆^𝒙の微分

(𝑒^𝑥)'=𝑒^𝑥

例

  • 例1: y=2𝑒^𝑥をxで微分する
Ans.

u=e^x
y=f(u)=2u
y'=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} 連鎖律を使用する
　=\frac{d(2u)}{du}\cdot \frac{d(e^x)}{dx}
　=2\cdot e^x
　=2e^x

  • 例2: y=𝑒^{𝑥^3}をxで微分する
Ans.

u=x^3
y=f(u)=e^u
y'=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} 連鎖律を使用する
　=\frac{d(e^u)}{du}\cdot \frac{d(x^3)}{dx}
　=e^u\cdot 3x^2
　=3x^2e^{x^3}

対数(log)

log_𝑎𝑁 𝑁が 𝑎の何乗かを表す

例

log_28=3
log1000=3
log0.01=−2

logの数式

logxy=logx+logy
logx^a=alogx
log\frac{y}{x}=logy-logx

logの微分計算数式

(log_ex)'=\frac{x'}{x}=\frac{1}{x}

eを省略することが多い
(logx)'=\frac{x'}{x}=\frac{1}{x}

例

  • 例1: y=f(x)=logx^3をxで微分する
Ans1.

y'=f'(x)=\frac{(x^3)'}{x^3}
　=\frac{3x^2}{x^3}
　=\frac{3}{x}

Ans2.

y'=f'(x)=3\cdot (logx)'
　=3\cdot \frac{1}{x}
　=\frac{3}{x}

  • 例2: y=f(x)=log_2xをxで微分する
Ans.

// 底が2の対数を自然対数に変換
log_2x=\frac{lnx}{ln2}

// (ln2が定数)

// 微分する

y'=f'(x)=\frac{1}{ln2}\cdot \frac{d}{dx}lnx
　=\frac{1}{ln2}\cdot \frac{1}{x}
　=\frac{1}{xln2}

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