演習2.9
(Ω, P)上の確率変数Xの密度関数はf_X(x)で、f_X(x)は実数上で連続である。
このときY=-X^2+3の分布関数F_Y(y)=P(Y≦y)を求めよ。またYの密度関数g(x)をf_X(x)を用いて表せ。
解答
確率変数の変形と分布関数
Y≦y ⇔ -X^2+3≦y⇔X^2≧3-yである。
従って、X≧0のときX≧\sqrt{3-y}、X<0のとき-X≧\sqrt{3-y}⇔X≦-\sqrt{3-y}であるから、Y≦y⇔X∈(-\infty, -\sqrt{3-y}]∪[\sqrt{3-y}, \infty)
以上より、
F_Y(y)=P(Y≦y)\\
=P(X∈(-\infty, -\sqrt{3-y}]∪[\sqrt{3-y}, \infty))\\
=P(X≦-\sqrt{3-y})+P(X≧\sqrt{3-y})\\
=P(X≦-\sqrt{3-y})+1-P(X≦\sqrt{3-y})\\
=F_X(-\sqrt{3-y}) + 1- F_X(\sqrt{3-y})
密度関数
f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y) \\
= \frac{d}{dy}\left(F_X(-\sqrt{3-y}) + 1- F_X(\sqrt{3-y})\right)\\
= f_X(-\sqrt{3-y})\frac{d}{dy}(-\sqrt{3-y}) - f_X(\sqrt{3-y})\frac{d}{dy}(\sqrt{3-y})\\
= f_X(-\sqrt{3-y})(\tfrac{1}{2\sqrt{3-y}}) + f_X(\sqrt{3-y})(\tfrac{1}{2\sqrt{3-y}})\\
= \tfrac{1}{2\sqrt{3-y}}\left(f_X(-\sqrt{3-y})+ f_X(\sqrt{3-y})\right)\\
Discussion