示すこと
(Ω,P)上の確率変数XがBin(n,p)に従う時の、期待値E[X]を求める。
式変形
q=1-pとした上で、離散型確率分布の期待値の定義に基づき計算すると、
E[X] = \sum_{k=0}^{n} k{}_{n}C_{k} p^kq^{n-k}\\
= \sum_{k=0}^{n} k \frac{n!}{k!(n-k)!} p^kq^{n-k}\\
ここで上式はk=0のときの和の項は0である。従って総和の添え字範囲の下限を0≦kから1≦kに変更することが可能である。
加えて、kの下限が1≦kであればk/k!=1/(k-1)!と式変形が可能である。
以上を合わせると、
= \sum_{k=1}^{n} \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} p^kq^{n-k}\\
= \sum_{k=1}^{n} \frac{n(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} (p \cdot p^{k-1}) q^{n-k}\\
= np\sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}q^{n-k}\\
ここで、m = k-1とおく。
すると総和の添え字範囲は
1≦k≦n⇒0≦k-1≦n-1⇒0≦m≦n-1
となる。
また、
n-k=n-(m+1)=(n-1)-mである。
従って、
= np\sum_{m=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{m!((n-1)-m)!}p^{m}q^{(n-1)-m}\\
= np\sum_{m=0}^{n-1} {}_{n-1}C_{m} p^{m}q^{(n-1)-m}\\
= np(p+q)^{n-1} \\
= np\cdot 1^{n-1} \\
= np\cdot 1\\
= np
となる。
以上より、E[X]=npである。
Discussion