モンティ・ホール問題について

モンティ・ホール問題 に関する自分なりの理解をまとめたもの.

モンティ・ホール問題

問題:
プレーヤーの前に閉じた3つのドアがあって, 1つのドアの後ろには景品の新車が, 2つのドアの後ろには, はずれを意味するヤギがいる. プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる. プレーヤーが1つのドアを選択した後, 司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる.

ここでプレーヤーは, 最初に選んだドアを, 残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる.

ここでプレーヤーはドアを変更すべきだろうか?

間違った回答

各ドアの当たりの確率は1/3なのだから残ったドアはどちらも同じ確率なので, プレーヤーはドアを変更してもしなくても当たりの確率は同じ(すなわち確率 1/2).

間違った回答の問題点

ドアが2枚になったところでシャッフルして改めてドアを選択するのであれば確率は 1/2 であるが, 今の場合は「司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる」という追加情報が存在しており, 上の回答ではこの部分が正しく考慮されていない.

正しい回答とその理解

正しい回答は「プレーヤーはドアを変更すべき」である. ドアを変更しなかった場合の当たる確率は 1/3 であるのに対し, ドアを変更した場合には, 当たる確率は 2/3 になる.

これは以下のように理解できる.

モンティはプレーヤーが選択しなかった2つのドアから外れの1つを開いており, 残ったドアはプレーヤーが選択しなかった2つのドアから生き残ったドアである. したがって, このドアを選択するということは, モンティが開いたドアを含め2枚のドアを同時に選択していることと同等なので, 当たる確率はドア2枚分, すなわち 2/3 になる.

ドアが3枚だとわかりにくいので, ドアを10枚とし, モンティがはずれの8枚を開くとするとよりわかりやすくなる. モンティが残したドアはプレーヤーが選択しなかった9枚から生き残ったドアなので, これを選択するのはドア9枚を選択したのと同等であり, 当たる確率は 9/10 となる.

(この理解は最初のリンク先にある Wikipedia の「その他の方法」の項目にある解説とほぼ同じ.)