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関率とキュムラントの関係

2023/08/16に公開

積率とキュムラントの間にある以下の関係式を導出する.

\mu_n = \sum_{j=1}^n {}_{n-1}\mathrm{C}_{j-1} \kappa_{j} \mu_{n-j}

積率とキュムラント

モーメント母関数を $M(t)$ とする.

M(t) := E[e^{tX}]

このとき, $n$ 次の積率 $\mu_n$ は以下のように計算できる.

\begin{aligned} \mu_n &:= \dfrac{d^n M(t)}{dt^n}\Bigm\vert_{t=0} \\ &= E[X^n e^{tX}] \bigm\vert_{t=0} \\ &= E[X^n] \\ \end{aligned}

このことから, $M(t)$ は以下のように展開できる.

\begin{aligned} M(t) &= E\Bigl[ \sum_{j=0}^\infty \dfrac{t^j}{j!}X^j \Bigr] \\ &= \sum_{j=0}^\infty \dfrac{t^j}{j!}\mu_j \\ \end{aligned}

キュムラント母関数を $K(t)$ とする.

K(t) := \ln{M(t)}

このとき, $n$ 次のキュムラント $\kappa_n$ は以下のように計算できる.

\kappa_n = \dfrac{d^n K(t)}{dt^n}\Bigm\vert_{t=0}

積率と同様に考えると, $K(t)$ は以下のように展開できる.

\begin{aligned} K(t) &= \sum_{j=1}^\infty \dfrac{t^j}{j!}\kappa_j \end{aligned}

ここで, $M(0)=1$ より $K(0)=\ln M(0)=0$ であることを使った.

$\mu_n$ と $\kappa_n$ の関係を導出する.

$K(t)=\ln M(t)$ より $M(t) = e^{K(t)}$ であるから, まず, $n=1$ のとき,

\begin{aligned} \mu_1 = &= \dfrac{dM(t)}{dt} \Bigm\vert_{t=0} \\ &= \dfrac{de^{K(t)}}{dt} \Bigm\vert_{t=0} \\ &= \dfrac{dK(t)}{dt}e^{K(t)} \Bigm\vert_{t=0} \\ &= \kappa_1\\ \end{aligned}

つぎに $n>1$ のとき,

\begin{aligned} \mu_n &= \dfrac{d^n M(t)}{dt^n} \Bigm\vert_{t=0} \\ &= \dfrac{d^n e^{K(t)}}{dt^n} \Bigm\vert_{t=0} \\ &= \dfrac{d^{n-1}}{dt^{n-1}} \Bigl\{ \Bigl( \dfrac{dK(t)}{dt} \Bigr) e^{K(t)} \Bigr\} \Bigm\vert_{t=0} \\ &= \dfrac{d^{n-1}}{dt^{n-1}} \Bigl\{ \Bigl( \dfrac{dK(t)}{dt} \Bigr) M(t) \Bigr\} \Bigm\vert_{t=0} \\ \end{aligned}

$dK(t)/dt$ と $M(t)$ の積に $n-1$ 回の微分を作用させるので, 2項展開(ライプニッツの公式)より,

\begin{aligned} \mu_n &= \sum_{j=0}^{n-1} {}_{n-1}\mathrm{C}_j \dfrac{d^j}{dt^j} \Bigl( \dfrac{dK(t)}{dt} \Bigr)\cdot \dfrac{d^{n-1-j} M(t)}{dt^{n-1-j}} \Bigm\vert_{t=0} \\ &= \sum_{j=0}^{n-1} {}_{n-1}\mathrm{C}_j \dfrac{d^{j+1} K(t)}{dt^{j+1}}\cdot \dfrac{d^{n-1-j} M(t)}{dt^{n-1-j}} \Bigm\vert_{t=0} \\ \end{aligned}

$j'=j+1$ とすると,

\begin{aligned} \mu_n &= \sum_{j'=1}^n {}_{n-1}\mathrm{C}_{j'-1} \dfrac{d^{j'} K(t)}{dt^{j'}}\cdot \dfrac{d^{n-j'} M(t)}{dt^{n-j'}} \Bigm\vert_{t=0} \\ &= \sum_{j'=1}^n {}_{n-1}\mathrm{C}_{j'-1} \kappa_{j'} \mu_{n-j'} \\ \end{aligned}

$j'$ を改めて $j$ と書くことにすると, 結局以下の式が得られる.

\mu_n = \sum_{j=1}^n {}_{n-1}\mathrm{C}_{j-1} \kappa_{j} \mu_{n-j}