本scrapは日高哲郎さんが書いた「うかる！応用情報技術者テキスト&問題集2021年版」^[1]を読んだ時に疑問に思ったことと、その答えを簡単にまとめるサイトです。
明確な答えが無いときは、記事にします。

脚注

1. 日高哲郎, 「うかる！応用情報技術者テキスト&問題集2021年版」, 株式会社翔泳社, 2020, ISBN978-4-7981-6862-3 ↩︎

なぜ、待ち行列の平均の長さがρ/(1-ρ)になるのか

知りたいこと

応用情報技術者試験の勉強をしていたら、ρを利用率（サービス窓口が処理中である確率）とした時に、待ち行列の平均の長さがρ/(1-ρ)になるとあったが、これが直感的に分からなかったので、なぜこうなるかを知りたい。

なぜ疑問なのか

ρは「利用率」というからには確率である無次元量である^[1]。無次元量のみで構成される数の多くは無次元量になるのが直感的なのだが、この式はそれに反する。例えば、確率同士であれば確率になるはずであるが、長さというからには単位が「個」など次元がある数になるはずである。

ここでいう次元とは

恐らく線形代数を用いたことがある（ニューラルネットワークなど）人は次元というとベクトルの次元を思い浮かべるかもしれない（よくn次元という用い方をする）。ここでは、物理量のことで例えばメートルやkgなどをいいます。わざわざアコーディオンにしておいてなんですが、この疑問は誤りでその解説と次元の詳細は次の章で。

この疑問の間違い

この疑問は誤りであります。「ここでいう次元とは」を書いている時に気付きました。
信州大学の飯山先生（又は二村先生）の講義資料^[2]によると

1個とか、1回のような個数、回数には単位はつかない（無次元）

とあります。つまり、ここでいう待ち行列の平均の長さ（この長さの単位は恐らく「cm」ではなく「個」が適当だと思います）は、そもそも無次元であるので、前章の疑問は誤りです。

答えが書いてあるサイト（2022-01-15閲覧）

• なんで待ち行列の長さは、ρ/(1-ρ)なのか？・・・を理解するのによさそうな資料 / @int_main_void https://qiita.com/int_main_void/items/01ab167824288d1b5466
• 第11章・第11回　待ち行列理論：待ちの数理 / 大西仁, pp.30-pp.49 https://info.ouj.ac.jp/~maps17/11/
• システム工学基礎 System Engineering 待ち行列理論 / 伊庭 斉志, pp.17 http://www.iba.t.u-tokyo.ac.jp/iba/SE/shiryou/queue-shiryou.pdf

脚注

1. 確率 / 伊藤智博 https://edu.yz.yamagata-u.ac.jp/developer/Asp/Youzan/Physics/Quantity/@Quantity.asp?nQuantityID=225　（2022-01-15閲覧） ↩︎

2. 第3章 単位と物理量 / 飯山先生または二村先生 [http://science.shinshu-u.ac.jp/~tiiyama/wp-content/uploads/2012/12/mfc-3.pdf　（2022-01-15閲覧） ↩︎