偏微分
1変数関数の微分
関数y = f(x)について、xとx + \varDelta xの2点を通る直線の傾きは\frac{f(x + \varDelta x) - f(x)}{\varDelta x}となる。
ここで、\varDelta xを限りなく小さくしたとき、この傾きは点xでの接線の傾きを表す。
この接線の傾きを\frac{dy}{dx}と表し、xの微小変化に対するyの変化を
\frac{dy}{dx} = \lim_{\varDelta x\to 0}\frac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x}
によって求めることを （1変数関数の）微分 という。
なお、微分の表記にはライプニッツ記法（\frac{dy}{dx}, \frac{d}{dx}f(x), \frac{df(x)}{dx}）、ラグランジュ記法（f'(x), y'）、ニュートン記法（\dot{y}）の3種類が存在する。
多変数関数の微分
関数z = f(x, y)について、(x, y)と(x + \varDelta x, y)の2点を通る直線の傾きは\frac{f(x + \varDelta x, y) - f(x, y)}{\varDelta x}となる。
ここで、\varDelta xを限りなく小さくしたとき、この傾きは点(x, y)でのx方向への接線の傾きを表す。
この接線の傾きを\frac{\partial z}{\partial x}と表し、xの微小変化に対するzの変化をyを固定したまま
\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\varDelta x\to 0}\frac{f(x + \varDelta x, y) - f(x, y)}{\varDelta x}
によって求めることを偏微分、または多変数関数の微分という。
y方向についても同様に考えることで、yの微小変化に対するzの変化をxを固定したまま
\frac{\partial z}{\partial y} = \lim_{\varDelta y\to 0}\frac{f(x, y + \varDelta y) - f(x, y)}{\varDelta y}
によって求めることができる。
なお、偏微分を表す記号\partialはラウンド、パーシャル、デル、ディー、ラウンドディーなどと呼ばれることがおおい。
全微分
関数z = f(x, y)について、(x, y)と(x + \varDelta x, y + \varDelta y)の2点を考えたとき、(\varDelta x, \varDelta y)の取り方により微小な面積の平面を考えることができる。
ここで、\varDelta xと\varDelta yを限りなく小さくしたとき、この平面の傾きは点(x, y)での接平面の傾きと等しくなる。
そこで、xの微小変化とyの微小変化に対するzの変化を求める。
まず、xの微小変化について考えると、(x, y)と(x + dx, y)においてxが傾き\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}に対してdxだけ変化するので、f(x + dx, y) = f(x, y) + \frac{\partial f}{\partial x}dxが成り立つ。
次に、xの微小変化後におけるyの微小変化について考えると、(x+dx,y)と(x+dx,y+dy)においてyが傾き\frac{\partial f(x+dx,y)}{\partial y}に対してdyだけ変化するので、
\begin{aligned} f(x+dx,y+dy) &= f(x+dx,y)+\frac{\partial f(x+dx,y)}{\partial y}dy \\ &= f(x+dx,y)+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy\quad(\because \frac{\partial f(x+dx,y)}{\partial y} // \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}) \end{aligned}
が成り立つ。
以上より、
f(x+dx,y+dy)-f(x,y) = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy
を得ることができ、このzの変化を求めることを全微分といい、dfと表す。
\therefore df := \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy
Discussion