イプシロンエヌ論法（数列の収束）
数列(a_n)_{n = 1}^{\infty}が実数\alphaに収束するとは、任意の実数\varepsilon>0に対してある自然数Nが存在し、n \geq Nである任意の自然数nに対して|a_n-\alpha|<\varepsilonが成り立つときにいう。
これを論理記号を使って定義すると、
\lim_{n\to \infty}a_n = \alpha \; or \; a_n \to \alpha(n\to\infty)\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \;s.t.\; n \geq N \Rightarrow |a_n - \alpha| < \varepsilon
（s.t.はsuch that~の略であり、～となるような、という意味でありカンマでも問題はない）
となる。
つまり、ある数列a_nを考えたとき、どれだけ小さな数字\epsilon > 0を考えても、ある自然数Nが存在してNより十分に大きい数nを考えると、a_nとある数\alphaとの絶対値が\epsilonより小さくできる場合がある、ということである。
a_nと\alphaとの絶対値が、どれだけ小さな数\epsilonより小さくできるとき、a_nはn\to\inftyで\alphaに収束すると定める。
例題
\alphaを実数として、数列\{a_n\}は\lim_{n\to\infty}a_n = \alphaであるとする。s_n = \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}として、\lim_{n\to\infty}s_n=\alphaであることを示せ。
解）
\epsilon>0を考え、n\geq N' \Rightarrow |s_n-\alpha|<\epsilonとなるN'\in \mathbb{N}を求める。
\left|s_n-\alpha\right| = \left|\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}-\alpha\right| = \left|\frac{a_1+\cdots+a_n-n\alpha}{n}\right| = \left|\frac{(a_1-\alpha)+\cdots+(a_n-\alpha)}{n}\right| \cdots (1)
ここで、\epsilonに対して、仮定よりn\geq N \Rightarrow|a_n-\alpha|<\epsilonとなるNが存在する。
よって、n \geq Nのとき、式(1)についてN以上のnとN以下のnで分けると、
\begin{aligned} (1) &= \left|\frac{(a_1-\alpha)+\cdots+(a_{N-1}-\alpha)+(a_N-\alpha)+(a_{N+1}-\alpha)+\cdots+(a_n-\alpha)}{n}\right| \\ &\leq \left|\frac{(a_1-\alpha)+\cdots+(a_{N-1}-\alpha)}{n}\right|+\frac{\left|a_N-\alpha\right|+\cdots+\left|a_n-\alpha\right|}{n} \quad (\because\alpha,\beta\in\mathbb{C},|\alpha+\beta|\leq|\alpha|+|\beta|) \\ &< \frac{A}{n}+\frac{\epsilon(n-N+1)}{n} \quad (\because|a_N-\alpha|,\dots,|a_n-\alpha| < \epsilon \; (n > N), \;(a_1-\alpha)+\cdots+(a_{N-1}-\alpha) = A) \\ &< \frac{A}{n}+\epsilon \quad (\because \frac{n-N+1}{n} < 1) \end{aligned}
このとき、
\forall\epsilon>0, \exists N_1\in\mathbb{N} \;s.t.\; n\geq N_1 \Rightarrow \left|\frac{A}{n}-0\right|<\epsilon \quad (\because \lim_{n\to\infty}\frac{A}{n} = 0)
を満たすため、与えられている\epsilonに対して、n\geq N_1\Rightarrow \frac{A}{n}<\epsilonとなるN_1\in\mathbb{N}が存在する。
よって、n\geq\max\{N,N_1\}のとき
|s_n-\alpha|<\frac{A}{n}+\epsilon < \epsilon+\epsilon=2\epsilon
を満たすため、N' = \max\{N,N_1\}とすると、
n\geq N'\Rightarrow |s_n-\alpha|<2\epsilon
が成り立つため\lim_{n\to\infty}s_n=\alphaは成り立つ。
イプシロンデルタ論法（関数の収束）
a, \alpha\in\mathbb{R}として、xがaに近付くとき、関数f(x)の値が\alphaに 近付く（収束する） とは、任意の実数\varepsilon>0に対して任意の実数\delta>0が存在して|x-a|<\deltaならば|f(x)-\alpha|<\varepsilonが成り立つときにいう。
これを論理記号を使って定義すると、
\lim_{x\to a}f(x) = \alpha \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}\forall\epsilon>0,\exists\delta>0 \;s.t.\; 0 < |x-a|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-\alpha \right| < \epsilon
となる。
なお、xが\inftyに近づくとき、関数f(x)の値が\alphaに近付くときは、\epsilon-N論法より
\lim_{x\to\infty}f(x) = \alpha \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}\forall\epsilon>0,\exists L>0 \;s.t.\; x>L \Rightarrow \left|f(x)-\alpha \right| < \epsilon
と定義される。
つまり、ある関数f(x)を考えたとき、どれだけ小さな数字\epsilon > 0を考えても、ある数\delta > 0が存在して0<|x-a| < \deltaを満たすaが存在するとき、f(x)とある数\alphaとの絶対値が\epsilonより小さくできる場合がある、ということである。
f(x)と\alphaとの絶対値が、どれだけ小さな数\epsilonより小さくできるとき、f(x)はx\to aで\alphaに近付くと定める。
ここで、f(x)が\lim_{x\to a}f(x) = f(a)を満たすとき、f(x)がx = aで連続であるという。
よって、f(x)が区間Iで定義され、a\in Iのとき
f(x)がaで連続 \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}\forall\epsilon>0, \exists\delta>0 \;s.t.\; 0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(a)\right|<\epsilon
となる。
例題
区間[0, \infty)で定義される関数f, gを考える。
f(x) \neq 0であり、fは有界である。
\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{f(x)}=0のとき、\lim_{x\to\infty}g(x)=0であることを示せ。
解）
まず、fは有界なので\exists L>0 \;s.t.\; \forall x\in\mathbb{R}, |f(x)|<LとなるLが存在し、\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{f(x)}=0なので\forall \epsilon_0>0,\exists M>0 \;s.t.\; x>M \Rightarrow \left|\frac{g(x)}{f(x)}\right|<\epsilon_0を成り立つ。
このとき、\lim_{x\to\infty}g(x)=0より\forall\epsilon>0, \exists N>0 \;s.t.\; x>N \Rightarrow |g(x)| < \epsilonが成り立つことを示す。
ここで、x > Mのとき|g(x)| < \epsilon_0|f(x)| < \epsilon_0Lとなるので、任意の\epsilonを考えL\epsilon_0 = \epsilonとすることで\epsilon_0 = \frac{\epsilon}{L}を考えると
\exists M > 0 \;s.t.\; x > M\Rightarrow \left|\frac{g(x)}{f(x)}\right| < \frac{\epsilon}{L}
である。
N = Mとすると、x > Nのとき
|g(x)| < \frac{\epsilon}{L}|f(x)| < \frac{\epsilon}{L}L = \epsilon
よって、成り立つ。
Discussion