量子確率過程(Partharathy)
TT1 事象・オブザーバブル・状態
1.1 古典確率から量子確率
略
一般化という観点から理解するため，期待値
有限空間
離散確率変数
よって，
-
(1.1)の二つ目の式は，すべての実数値確率変数の空間が線形空間をなし，確率分布はその共役の非負の要素であるという考えを強調するものである．（リースの表現定理にもつながる）
-
三つ目，四つ目の式はそれを量子論風に記述してみたものである．(略)
TT1.2 記法
ヒルベルト空間
-
可分複素ヒルベルト空間 :
\mathcal{H} -
\mathcal{H} \langle\cdot,\cdot\rangle \langle\cdot,\cdot\rangle_\mathcal{H} -
\mathcal{H} \|\cdot\|=\langle\cdot,\cdot\rangle^{1/2} \|\cdot\|_\mathcal{H} -
\{u_n\}\subset \mathcal{H} u\in\mathcal{H} -
\{u_n\} u \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\|u-u_n\|=0. -
\{u_n\} u \displaystyle\forall v\in\mathcal{H},\lim_{n\rightarrow\infty}\langle v,u_n\rangle=\langle v,u\rangle.
-
-
S\subset\mathcal{H}. - 直交補空間 :
S^\perp = \{u\in\mathcal{H}\mid\forall v\in S,\langle v,u_n\rangle=0\}. -
S^\perp \mathcal{H} -
S^{\perp\perp} S -
S S^{\perp\perp} S S^{\perp\perp}
- 直交補空間 :
-
S \dim S -
ヒルベルト空間の列
\{\mathcal{H}_n\} -
\mathcal{H}_n \bigoplus_n\mathcal{H}_n=\{\{u_n\}\mid u_n\in\mathcal{H}_n\} u_n = \{0,0,\cdots,u_n,0,\cdots,0\}
-
-
\mathcal{H} \mathcal{H} \mathcal{B(H)} T\in\mathcal{B(H)} -
T R(T)=\{Tu\mid u\in\mathcal{H}\}. -
T N(T)=\{u\mid Tu=0\}. -
R(T) N(T) -
N(T^*)=R(T)^\perp
-
-
\mathcal{H} \mathcal{O(H)} -
\mathcal{H} \mathcal{P(H)} -
\mathcal{P(H)\subset O(H)\subset B(H)} -
\{E_\alpha\} -
\lor_\alpha E_\alpha \bigcup_\alpha R(E_\alpha) -
\land_\alpha E_\alpha \bigcap_\alpha R(E_\alpha) - 任意の射影
E,F,\{E_\alpha\} \alpha E\geq E_\alpha\geq F \beta
E\geq\lor_\alpha E_\alpha\geq E_\beta.
E_\beta\geq\land_\alpha E_\alpha\geq F.
-
-
もし
E
実・複素空間
- n次元複素数空間 :
\mathbb{C}^n -
\mathbb{C}^n \langle u,v\rangle = \sum_i\bar{a}_ib_i. -
\mathbb{C}^n \{(1,0,\cdots,0),(0,1,\cdots,0),\cdots, (0,0,\cdots,1)\} - n次元実空間 :
\mathbb{R}^n -
\mathbb{R}^n \mathbb{C}^n
l^2
-
l^2 l^2=\{\{a_i\}\mid\sum_i |a_i|^2\lt \infty\}. -
l^2 \langle \{a_i\},\{b_i\}\rangle=\sum_i\bar{a}_ib_i. -
l^2 \{e_i\} e_1=\{1,0,\cdots,\},e_2=\{0,1,\cdots\},\cdots.
L^2
-
(S,\mathcal{F},\mu) \sigma -
L^2(\mu) L^2(\mu) = \{f:S\rightarrow \mathbb{C}\mid \int_S \|f\|^2_\mathbb{C}d\mu\lt \infty\} -
L^2(\mu) \langle f,g\rangle =\int_Sf^*gd\mu. -
S \mathcal{F}_S h -
L^2(\mu,h) L^2(\mu,h)=\{f:S\rightarrow h\mid \int\|f(s)\|^2_hd\mu\lt\infty\} -
L^2(\mu,h) \langle f,g\rangle =\int_S\langle f,g\rangle_h d\mu.
必要に応じて追記する
TT3 確率積分と量子伊藤公式
3.1 適合過程
-
\mathcal{H} -
\mathcal{F}_{\mathbb{R}_+} -
\xi:\mathcal{F}_{\mathbb{R}_+}\rightarrow \mathcal{P(H)} \mathcal{P(H)} \mathbb{R}_+
\forall t\in\mathbb{R}_+,\xi(\{t\})=0. -
\mathcal{H}_S
S\in\mathcal{F}_{\mathcal{R}_+},\mathcal{H}_S=\rm{ran}(\xi(S)).
たとえば、\mathcal{H}_{[0,t]}=\rm{ran}(\xi([0,t])), \mathcal{H}_{[t}=\rm{ran}(\xi([t,\infty])) \rm{ran} - 列
\{t_1,t_2,\cdots,t_n\} 0\lt t_1\lt t_2\lt t_3\lt t_4\cdots\lt t_n\lt\infty
\mathcal{H}=\mathcal{H}_{t_1]}\oplus\mathcal{H}_{[t_1,t_2]}\oplus\mathcal{H}_{[t_2,t_3]}\oplus\cdots\oplus\mathcal{H}_{[t_{n-1},t_n]}\oplus\mathcal{H}_{[t_n}. - 初期空間
\mathcal{H}_0 - ヒルベルト空間
\mathcal{H} \tilde{\mathcal{H}}
\tilde{\mathcal{H}}=h_0\otimes\Gamma_s(\mathcal{H}).
ここで\Gamma_s(\mathcal{H}) -
\tilde{}
\tilde{\mathcal{H}}_{0]}=h_0.
\tilde{\mathcal{H}}_{t]}=h_0\otimes\Gamma_s(\mathcal{H}_{t]}).
\tilde{\mathcal{H}}_{[t}=\Gamma_s(\mathcal{H}_{[t}).
\tilde{\mathcal{H}}_{[s,t]}=\Gamma_s(\mathcal{H}_{[s,t]}). -
u\in\mathcal{H}
u_{t]}=\xi([0,t])u.
u_{t]}=\xi([t,\infty])u.
u_{[s,t]}=\xi([s,t])u.
と定める。 -
\Phi_{[s,t]} \Phi_{[t} \Phi \tilde{\mathcal{H}}_{[s,t]} \tilde{\mathcal{H}}_{[t} \Gamma_s(\mathcal{H}) -
\tilde{\mathcal{H}}_{t]} \tilde{\mathcal{H}}
\forall\phi\in\tilde{\mathcal{H}}_{t]},\phi\otimes\Phi_{[t}\in\tilde{\mathcal{H}}. -
\tilde{\mathcal{H}} 0\lt t_1\lt t_2\cdots\lt t_n\lt\infty
\tilde{\mathcal{H}} = \tilde{\mathcal{H}}_{t_1]}\otimes \tilde{\mathcal{H}}_{[t_1,t_2]}\otimes\cdots\otimes\tilde{\mathcal{H}}_{[t_{n-1},t_n]}\otimes\tilde{\mathcal{H}}_{[t_n}.
これは次を満たすようなユニタリー同型U
Uf\otimes e(u)=[f\otimes e(u_{t_1]})]\otimes e(u_{[t_1,t_2]})\otimes \cdots\otimes e(u_{[t_n}). -
\tilde{\mathcal{H}} \phi_1\otimes\phi_2\otimes\phi_3\cdots \phi_1\phi_2\cdots - 有界作用素の全体
\mathcal{B(H)}
\mathcal{B}_{t]}=\{X\otimes 1_{[t}\mid X\in\mathcal{B(\tilde{H}_{t]})}\}.
ここで\{\mathcal{B}_{t]},t\geq 0\} \xi \{\mathcal{B}_{t]}\}
以上の条件で、適合過程を定義する。
定義 適合過程 Adapted process :
とし、 D_0\subset h_0 を次を満たすような線形多様体とする。 \mathcal{M\subset H}
\forall u\in\mathcal{M},\forall s,t\in\mathbb{R}_+,\xi([s,t])u\in\mathcal{M}.
を D_0\otimes\mathcal{E(M)} のベクトルから生成される線形多様体とする。 \{fe(u)\mid f \in D_0,u\in\mathcal{M}\} 次を満たすような
作用素の列 \tilde{\mathcal{H}}\rightarrow\tilde{\mathcal{H}} を X=\{X_t\mid t\geq 0\} 上の \tilde{\mathcal{H}} の 適合過程 という。(あるいは適合する過程という) (\xi,D_0,\mathcal{M})
D(X_t)\supset D_0\otimes\mathcal{E(M)}. について次が成立する。(これを 正規 (Regular) であるという) \forall t\gt 0,\forall u\in\mathcal{M},\forall f\in D_0
X_tfe(u_{t]})\in\tilde{\mathcal{H}}_{t]}. X_tfe(u)=\{X_tfe(u_{t]}\}\otimes e(u_{[t}). - 任意の
と f\in D_0 について 写像 u\in\mathcal{M} が連続。 t\rightarrow X_tfe(u)
ここで
D=\rm{dom} -
e \exp -
\mathcal{E(H)=\{e(v)\mid v\in\mathcal{H}\}} -
\Gamma_s
マルチンゲールを定義する。
定義
マルチンゲール : 写像 \xi が次を満たすとき m:\mathbb{R}_+\rightarrow \mathcal{H} マルチンゲールという。 \xi
\forall t,m(t)=m_t\in\mathcal{H}_{t]}.
\forall s\lt t\in\mathbb{R}_+,\xi([0,s])m_t=m_s.
次のような性質が成り立つ。
- 二つの
\xi m,m' \forall a\in\mathbb{R}_+,\langle m_t,m'_t \rangle=\langle{m_a,}\xi([0,t])m'_a\rangle.
よって
-
u\in\mathcal{H} u_{t]}=\xi([0,t])u \xi -
u,v\in\mathcal{H} u_{t]},v_{t]} \llbracket u,v\rrbracket
いかに紹介する集合は解析時に頻出するものである。
例24.1
定義 生成消滅過程 :
とする。 h_0=\mathbb{C} とする。 \~\mathcal{H}=\Gamma_s(\mathcal{H}) を m\in\mathcal{H} マルチンゲールとする。このとき生成消滅演算子 \xi として次を満たすような線形写像 a^*,a を考える。 A_m^*,A_m:\mathbb{R}_+\rightarrow\mathcal{B(H)}
D(A^*_m(t))=D(A_m(t))=\mathcal{E(H)}. \forall u\in\mathcal{H},A_m^*(t)e(u)=a^*(m_t)e(u)=\{\frac{d}{d\varepsilon} e(u_{t]}+\varepsilon m_t)\mid_{\varepsilon=0}\}e(u_{[t}). \forall u\in\mathcal{H},A_m(t)e(u)=a(m_t)e(u)=\{\llbracket m,u\rrbracket([0,t])e(u_{t]})\}e(u_{[t}) このとき、列
と A_m^*=\{A_m^*(t)\mid t\geq 0\} は A_m=\{A_m(t)\mid t\geq 0\} に適合している過程である。このような場合は、 (\xi,\mathbb{C},\mathcal{H}) を省略して \mathbb{C} に適合していると書く。 (\xi,\mathcal{H}) このような
および A_m を 生成過程 または 消滅過程 という。 A^*_m
また、この生成消滅過程について次のように書くことがある。
例24.2
D(\Lambda_H(t))=\mathcal{E(H)}. -
\forall u\in\mathcal{H},\Lambda_H(t)e(u)=\lambda(H_t)e(u)=\{\lambda(H_t)e(u_{t]})\}e(u_{[t}). \lambda(H)=\lambda(\frac{1}{2}(H+H^*))+i\lambda(\frac{1}{2i}(H-H^*)).
ここで定理20.13 :
例24.3
定義 維持過程 (Conservation process) :
を m,m' マルチンゲールとする。 \xi 上の作用素 \Gamma_s(\mathcal{H}) が以下を満たすとする。 \Lambda_{\ket{m}\bra{m'}}(t)
D(\Lambda_{\ket{m}\bra{m'}}(t))=\mathcal{E(H)}. \Lambda_{\ket{m}\bra{m'}}(t)e(u)=\lambda(\ket{m}\bra{m'})e(u). このとき、次の
が \Lambda_{\ket{m}\bra{m'}} に対する正規適合過程である。 (\xi,\mathcal{H}) \Lambda_{\ket{m}\bra{m'}}=\{\Lambda_{\ket{m}\bra{m'}}(t)\mid t\geq 0\}. このような
を \Lambda_{\ket{m}\bra{m'}} に関する conservation 過程という。 (m,m')
例24.4
(強連続半群とは、(1)
(Weyl 作用素とは、次を満たす作用素である
このとき
)
このとき、演習20.21(下に記述する) により
D(Y_t)=h_0\otimes \mathcal{E(H)} Y_tfe(u)=L_tf\otimes X_te(u).
このとき
演習20.21
ヒルベルト空間
\forall U_j\in \mathcal{U}(\mathcal{H}_j),\forall t_j\in \mathcal{H}_j,W(u_1\oplus u_2,U_1\oplus U_2)=W(u_1,U_1)\otimes W(u_2,U_2). \forall u_j,v_j\in\mathcal{H}_j,p(u_1\oplus u_2)e(v_1\oplus v_2)=\{p(u_1)e(v_1)\}\oplus e(v_2)+e(v_1)\otimes\{p(u_2)e(v_2)\}. - 任意の
\mathcal{H}_j H_j
\forall v_j\in\mathcal{H}_j,\lambda(H_1\oplus H_2)e(v_1\oplus v_2)=\{\lambda(H_1)e(v_1)\}\otimes e(v_2)+e(v_1)\otimes\{\lambda(H_2)e(v_2)\}.
-
\mathcal{U(H)}
証明
1を示す。Weyl 作用素の定義から
であるので
最初に係数部分だけ考える。
よって分解できた。
2 を確認する。(20.10)より
ここで求めたい式は以下のようであるが、これを証明するために必要なのは
これを 1 と同様にすると
なので、
が示された。よって以下が成立する。
3 を確認する。 (20.11)より
これは2と同様にすればよいだろう。(略)■