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1.1 確率微分方程式の登場

なぜ確率微分方程式は必要になるのか？という話

決定論的な微分方程式の他に、以下の例のような未知の作用やランダムネスが作用するような系では、ノイズの項が必要になる。

• 人口増加モデル
• 電気回路の電荷
  この下で、ノイズを数学的にどのように定式化すればよいか。というものが確率微分方程式である。

1.2 Filtering Problem

電気回路の問題を考える。電気回路の電荷の測定結果について、時刻 s の真の電荷を Q(s) とし、測定結果を Z(s) とすると、測定の不確かさから、 Z(s) は以下を満たす。

Z(s) = Q(s) + \rm{noise}

ここで filtering problem とは、どのようにすれば測定のノイズの影響を排してノイズを含む確率微分方程式で記述される Q をもっともよく推定できるかという問題である。

この問題への回答の一つとして Kalman-Bucy filter というものが考案されている。

1.3 決定的境界値問題への確率的アプローチ

Dirichlet problem は、確率的手法が有効であることがよく知られている。

Dirichlet problem : 部分集合 U\subset \mathbb{R}^n 、U, \partial U 上の連続関数 f とする。ここで以下を満たす関数 \tilde{f} を求めよ。ここで \partial U は U の境界。

• \forall u\in\partial U,\hat{f}=f.
• \tilde{f} は調和関数。すなわち次を満たす。
  
  \forall u\in U,\left.\Delta \tilde{f}\right|_{x=u}=\sum_{i=1}^n\left.\frac{\partial^2\tilde{f}}{\partial x_i^2}\right|_{x=u}=0.

Kakutani が Brownian motion を利用してこの問題を解けることを示し、また、この手法の一般化も発見されている。

1.4 最適停止問題

最適停止問題とは、報酬を最大化したりコストを最小化するための行動のタイミングを決定する問題である。この問題を解く際にも確率的手法が有効であることが知られている。

1.5 Stochastic Control

確率的な戦略の動きを解析するためにも利用できる。

1.6 数値Finance

オプション価格を決定するのにも用いられる。

2.1 確率論

定義 \sigma 代数: 集合 \Omega 上の \sigma 代数 \mathcal{F} は次を満たす集合。

• \emptyset \in \mathcal{F}.
• F\in\mathcal{F}\rightarrow F^C\in\mathcal{F}.
• A_1,A_2\cdots\in\mathcal{F}\rightarrow \bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal{F}.

定義 可測集合: 集合 \Omega 上の \sigma 代数 \mathcal{F} とする。 \mathcal{F} の元を可測集合という。

定義 測度空間: \Omega とその上の \sigma 代数 \mathcal{F} の組 (\Omega,\mathcal{F}) を測度空間という。

定義 確率測度: 測度空間 (\Omega,\mathcal{F}) 上の確率測度 P:\mathcal{F}\rightarrow [0,1] は次を満たす写像。

• P(\emptyset)=0, P(\Omega)=1.
• A_1,A_2\cdots\in\mathcal{F} と、 i\neq j\rightarrow A_i\cap A_j=\emptyset を満たす列 \{A_i\}_{i\in\mathbb{N}}に対して次をみたす.
  
  P\left(\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i\right)=\sum_{i\in\mathbb{N}}P(A_i).

定義 確率空間: 測度空間 (\Omega,\mathcal{F}) とし、その上の確率測度を P とする。三つ組み (\Omega,\mathcal{F},P) を確率空間という。

定義 完全確率空間: 確率空間 (\Omega,\mathcal{F},P) とする。任意の
G\subset\Omega について、これを含むような確率0の集合 F\in\mathcal{F} が存在するとき、G\in\mathcal{F}を満たす。つまり、以下を満たすとき、完全確率空間という。

\forall G\subset\Omega,\exists F\in\mathcal{F},((G\subset F,P(F)=0)\rightarrow G\in\mathcal{F}).

定理/定義 \mathcal{U}から生成された\sigma代数: 任意の \mathcal{U}\subset \Omega について、以下を満たす最小の \sigma代数 \mathcal{H_U} が存在する。これを \mathcal{U} から生成された\sigma 代数という。

\mathcal{H_U}=\bigcap\{\mathcal{H}\mid \mathcal{U}\subset\mathcal{H},\mathcal{H}\text{は}\Omega\text{の}\sigma\text{代数}\}.

定義 Borel 集合族: 位相空間 \Omega とする。 \Omega の開集合から可算回の積\cap・和\cup・差-によって得られる集合の全体を Borel 集合族という。

定理 \Omega 上のBorel集合族 B は、\Omega上の開集合の全体を \mathcal{U} とすると、B=\mathcal{H_U} を満たす。

定義 \mathcal{F} 可測関数: 確率空間 (\Omega,\mathcal{F},P) とする。 写像 Y:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n が\mathcal{F} 可測であるとは、次をみたすことをいう。

\forall U\subset\mathbb{R}^n,Y^{-1}(U)=\{\omega\in\Omega\mid Y(\omega)\in U\}\in\mathcal{F}.

定義 X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n から生成された \sigma 代数 \mathcal{H}_X: 写像X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n とする。X から生成された\sigma 代数 \mathcal{H}_X は次をみたす。

\mathcal{H}_X=\mathcal{H}_{\mathcal{U}(X)}.

ここで \mathcal{U}(X) は次をみたす。

\mathcal{U}(X)=\{X^{-1}(O)\mid O\text{は}\mathbb{R}^n\text{上の開集合}\}.

定理 X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n 、\mathbb{R}^n上のボレル集合体 \mathcal{B} とすると以下をみたす。

\mathcal{H}_X=\{X^{-1}(B)\mid B\in\mathcal{B}\}.

定理 X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n は \mathcal{H}_X に対して \mathcal{H}_X可測関数。

定理 Doob-Dynkin の補題: X,Y:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n とする。Y が \mathcal{H}_X 可測であることと、以下を満たすボレル可測関数 g:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n が存在することは同値である。

Y=g(X).

以下ではすべてにおいて完全確率空間(\Omega,\mathcal{F},P)を仮定する。

定義 確率変数 X: \mathcal{F}可測写像Xを確率変数という。

定義 分布 \mu_X : ボレル集合族\mathcal{B} とする。(\Omega,\mathcal{F})の確率測度\mu_X が確率変数Xの分布であるとは、以下を満たすことをいう。

\forall B\in\mathcal{B},\mu_X(B)=P(X^{-1}(B)).

定義 平均 E(X) : 実数 E(X)が確率変数 X の平均であるとは、以下を満たすことをいう。

E(X)=\int_\Omega X(\omega)dP=\int_{\mathbb{R}^n}xd\mu_X.

(有限でないときは定義されない)

定義 平均 E(f(X)) : 写像 f:\mathbb{R}^n\mathbb{R} 、確率変数 Xとする。以下を満たす実数 E(f(X)) を f(X) の平均という。

E(f(X))=\int_\Omega f(X(\omega))dP=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)d\mu_X.

L^p 空間

p\in[1,\infty) とする。

定義 L^p ノルム : 確率変数 X の L^p ノルム \|X\|_p は以下を満たす。

\|X\|_p=\|X\|_{L^p(P)}=\left(\int_\Omega|X(\omega)|^pdP\right)^{\frac{1}{p}}.

定義 L^\infty ノルム : 確率変数 X の L^\infty ノルム \|X\|_\infty は以下を満たす。

\|X\|_\infty=\inf\{N\in\mathbb{R}\mid |X(\omega)| < N \rm{a.s.}\}.

ここで\rm{a.s.} は「ほとんどいたるところで」

定義 L^p 空間 : p乗可積分関数の全体、すなわち以下。

L^p(\Omega,P)=L^p(P)=L^p(\Omega)\\=\{X:\Omega\rightarrow \mathbb{R}^n\mid \|X\|_p\lt\infty\}.

ちなみに、L^2 空間は次の内積でヒルベルト空間になる。

\langle X,Y\rangle=E[XY].

定義 独立 : A,B\in\mathcal{F} が独立であるとは、次を満たすことをいう。

P(A\cap B)=P(A)P(B).

定義 独立 : \mathcal{H}_1,\mathcal{H}_2\cdots\in\mathcal{F} を満たす \mathcal{A}=\{\mathcal{H}_i\mid i\in I\} が独立であるとは、次を満たすことをいう。

\forall K\in 2^I,P(\bigcap_{k\in K}\mathcal{H}_k)=\prod_{k\in K} P(\mathcal{H}_k).

定義 独立 : 確率変数の集合 \{X_i\mid i\in I\} が独立であるとは、\{\mathcal{H}_{X_i}\mid i\in I\} が独立であることをいう。

定理 二つの独立な確率変数 X,Y について E(XY)=E(X)E(Y) を満たす。

定義 確率過程 : 集合Tを添え字として持つ確率変数の集合 \{X_t\}_{t\in T} を確率過程という。この集合は次のように書かれることもある。

\{X_t\}_{t\in T}=X(t,\omega).

Tは時間とされることが多い。

定義 軌道 : \omega\in \Omega とする。 \{X_t\}_{t\in T}の \omega による軌道は以下を満たす列。

\{X_t(\omega)\}_{t\in T}.

定理 確率過程 X(t,\omega) の全体を用いて、 \Omega を T から \mathbb{R}^n への写像の全体とみなすことができる。(\forall \omega_0\in\Omega,X(t,\omega_0):T\rightarrow\mathbb{R}^n、また、逆写像が存在する)

定理 ここで\sigma 代数 \mathcal{B} を考える。

B=\{\tilde{\omega}:T\rightarrow\mathbb{R}^n\mid \forall k,\tilde{\omega}(t_k)\in F_k,F_k\text{は}\mathbb{R}^n\text{上のボレル集合}\}.

\mathcal{B}=\mathcal{H}_B.

すると、上の定理から、確率過程 X(t,\omega) は測度空間 ((\mathbb{R}^n)^T,\mathcal{B}) 上の確率測度 \tilde{P} と同一視できる。

(独自研究: (\mathbb{R}^n)^T=\tilde{\Omega}とする\tilde{P}:\mathcal{B}\rightarrow[0,1]。一方X(t,\omega):T\otimes\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n、P:\mathcal{F}\rightarrow[0,1] なので、\tilde{P}=P\circ X^{-1} である。Pは一つしかないので、\tilde{P} は X によって決定されることになる。)

定義 有限次元分布: k=1,2,\cdots として \mathbb{R}^{nk} 上の測度 \mu_{t_1,\cdots,t_k} が確率過程 X の分布であるとは、次を満たすことをいう。

\mu_{t_1,\cdots,t_k}(\bigotimes_{i=1}^kF_i)=P[\forall k,X_{t_k}\in F_k].

ここで P[\forall k,X_{t_k}\in F_k]=P(\{\omega\mid\forall k,X_{t_k}(\omega)\in F_k\})、F_kは\mathbb{R}^nのボレル集合。

ある条件を満たす有限次元分布 \{\nu_{t_k}\mid k\in\mathbb{N},t_k\in T\} から、それを持つような確率過程 Y=\{Y_t\}_{t\in T} を構成できる。

定理 Kolmogorov の拡張定理: 任意の t_k\in T, k\in N について、\nu_{t_1,\cdots,t_k} を \mathbb{R}^{nk}上の次を満たす確率測度とする。ここで \sigma を任意の順列とする。

\nu_{t_{\sigma(1)},\cdots,t_{\sigma(k)}}(\bigotimes_{i=1}^{k}F_i)=\nu_{t_1,\cdots,t_k}(\bigotimes_{i=1}^{k}F_{\sigma^{-1}(i)}).\tag{K1}

また \nu は任意の m について次を満たす。

\nu_{t_1,\cdots,t_k}(\bigotimes_{i=1}^kF_i)=\nu_{t_1,\cdots,t_k,\cdots,t_{k+m}}(\bigotimes_{i=1}^kF_i\times \mathbb{R}^{nm}).\tag{K2}

ここでこのような \nu に対して、任意のt_i\in Tおよびボレル集合F_iについて次を満たす確率過程 X が存在する。

\nu_{t_1,\cdots,t_k}(\bigotimes_{i=1}^kF_i)=P[\forall k,X_{t_k}\in F_k].

2.2 Brown 運動

ブラウン運動と呼ばれる重要な例

ブラウン運動は、1828年に発見された、微小な粒子が水分子とランダムに衝突することによって生じる不規則な運動である。(訳注:Wikipediaによると、花粉自体がブラウン運動するというのは誤解である。ブラウン運動するのは水中で浸透圧により破裂した花粉から流出した微粒子である) このランダムネスを説明するために確率過程が必要とされた。ブラウン運動を記述する確率過程 B_t(\omega) は、花粉 \omega の時刻 t における座標を返す写像である。Kolmogorovの拡張定理から、所定の条件を満たす確率測度 \{\nu_{t_1,\cdots,t_k}\}_{t_i\in T} を定めればブラウン運動の確率過程を定めることができる。

ブラウン運動の確率測度は、一つ開始値を固定して、その値の周りに定められる。そこで、今ここではその値を x_0 とおく。

ここで簡単のために以下の写像 p:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R} を定める。

p(t,x,y)=(2\pi t)^{-n/2}\exp\left(-\frac{|x-y|^2}{2t}\right)

0\leq t_1\leq t_2\leq \cdots \leq t_k を満たすような \{t_i\} について、\mathbb{R}^{nk} 上の測度 \nu_{t_1,\cdots,t_k} を以下のように定める。(と、ブラウン運動の観測結果と一致する)

\nu_{t_1,\cdots,t_k}(\bigotimes_{i=i}^kF_i)=\int_{\bigotimes_{i=1}^kF_i}\prod_{i=1}^{k} p(t_i-t_{i-1},x_{i-1},x_i)dx_i.

ここで t_0=0, x_0 は上で定義した定数。

また、この測度 \nu は t_i は小さい順に並んだものしか受け入れないが、条件(K1)を満たすように、任意の順列 t_{\sigma(i)} を受け入れる \nu' を以下のように定める。

\nu'_{t_{\sigma(1)},\cdots,t_{\sigma(k)}}(\bigotimes_{i=i}^kF_i)=\nu_{t_1,\cdots,t_k}(\bigotimes_{i=i}^kF_{\sigma(i)}).

ここで t_i は小さい順に並んでいて、 t_{\sigma(i)} は任意の列。つまりこの t_{\sigma(i)} を並び変えて t_i にする小さい順にする関数が \sigma^{-1} である。

また、p について次が成り立つ。

\forall t \gt 0,\forall x\in \mathbb{R}^n,\int_{\mathbb{R}^n}p(t,x,y)dy=1.

よって(K2)も成立する。よってKolomgorovの拡張定理から確率過程 \{B_t\}_{t\in \{t_i\}} が存在して、この \{B_t\}_t の確率過程の有限次元分布は次のようになる。

P^{x_0}(\forall t\in \{t_i\}, B_t\in F_t)=\nu_{t_1,\cdots,t_k}(\bigotimes_{i=i}^kF_i).\tag{2.2.2}

この P^{x_0} を確率とするような確率空間 (\Omega,\mathcal{F},P^{x_0}) を考えることができる。

定義 上を満たすような確率過程を x_0 から始まる Brown 運動という。

注意として、 P^{x_0}(B_0=x_0)=1 である。また、ブラウン運動の定義は一つではない。

確率過程の項で説明したように、ブラウン運動の粒子の集合 \Omega はブラウン運動 \{B_t\} を用いて \Omega^T と同一視できる。この \Omega^T からなる測度空間 (\Omega^T,\mathcal{B})、(2.2.2)の確率 P からなる確率空間を正準化ブラウン運動という。

次に、ブラウン運動の性質をいくつか述べる。

定理 x まわりのブラウン運動 \{B_t\}_t の全体の確率変数 Z=(B_{t_1},\cdots,B_{t_k}) とする。Z は正規分布を持つ。つまり、あるベクトル M=(M_1,\cdots,M_k)\in\mathbb{R}^{nk} と非負有限行列 C=[c_{jm}]\in\mathbb{R}^{nk\times nk} が存在して、任意の u=(u_1,u_2,\cdots,u_k) に対して次をみたす。ここで、E_{x_0} は P^{x_0} による平均。

E^{x_0}\left[\exp\left(i\sum_{j=1}^{nk}u_jZ_j\right)\right]\\=\exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{j,m}u_jc_{jm}u_m+i\sum_ju_jM_j\right).

さらに E^{x_0} は次をみたす。

M=E^{x_0}[Z].

c_{jm}=E^{x_0}[(Z_j-M_j)(Z_m-M_m)].

E^{x_0}[B_t]=x_0.

E^{x_0}[(B_t-x_0)(B_s-x_0)]=n\min(s,t).

また、これらから

E^{x_0}[(B_t-B_s)^2]=E^{x_0}[((B_t-x_0)-(B_s-x_0))^2]\\ =n(t-s).

これの証明については Appendix A 参照

定理 B_t は独立増分を持つ。すなわち、任意の \{t_i\} に対して

B_{t_1},B_{t_2}-B_{t_1},\cdots,B_{t_k}-B_{t_{k-1}} \text{are independent}

これは、正規確率変数(正規分布を分布として持つ確率変数)が独立であることを証明するには次を示せばよい。

E^{x_0}[(B_{t_i}-B_{t_{i-1}})(B_{t_j}-B_{t_{j-1}})]=0.

ここで

E^{x_0}[B_{t_i}B_{t_j}-B_{t_{i-1}}B_{t_j}-B_{t_i}B_{t_{j-1}}+B_{t_{i-1}}B_{t_{j-1}}]=n(t_i-t_{i-1}-t_{i}+t_{i-1})=0.

と示すことができる。

定義 \{X_t\} と \{Y_t\} を確率過程とする。\{X_t\} が \{Y_t\} の version であるとは、以下を満たすことをいう。

\forall t,P(\{\omega\mid X_t(\omega)=Y_t(\omega)\})=1.

\{X_t\} と \{Y_t\} がそれぞれの version なら、同じ有限次元分布を持つ。ただし、軌跡は異なる場合がある。

ブラウン運動は連続であるかという質問に答えるのが次の定理である。

定理 Kolmogorovの連続性定理 : 確率過程 X=\{X_t\} が次の条件を満たすとする。任意の T\gt 0 に対して、以下を満たす \alpha,\beta,D が存在する。

E[|X_t-X_s|^\alpha]\leq D|t-s|^{1+\beta}.

このとき、X は連続な version を持つ。

これは証明するのではなく、ブラウン運動の例を見るだけにしておく。ブラウン運動 \{B_t\} は次を満たす。

E^{x_0}[|B_t-B_s|^4]=n(n+2)|t-s|^2.

よってKolmogorovの連続性定理の条件を満たすので、連続なversionを持つ。そこで B_t は連続であるとする。

3.1 伊藤積分

一章で見たようなノイズ項をどのように定式化するかという問題にここでは取り組むことにする。

例えば、次のような力学を考える。

\frac{dX}{dt}=b(t,X_t)+\sigma(t,X_t)\times \rm{noise}.

ここである確率過程 W_t が存在して、ノイズ項を表していると考える。つまり、力学は

\frac{dX}{dt}=b(t,X_t)+\sigma(t,X_t)W_t.

である。このようなノイズを表す W_t が満たすべき性質について以下のように考えられている。

1. t_1\neq t_2\rightarrow W_{t_1}\text{and} W_{t_2}\text{are independent}.
2. \{W_t\} は定常的である。つまり、\{W_{t_1+t},\cdots,W_{t_k+t}\} は時間 t に依存しない。
3. \forall t,E[W_t]=0.

しかし、このような条件(特に1と2を同時に)を満たす"普通の"確率過程は存在しないことがわかっている。これを満たす W_t の軌跡は非連続的になり、 E[W_t^2]=1 を要求すると、(t,\omega)\rightarrow W_t(\omega) が非可測関数になる。

しかし、この三条件を満たすような W_t が一般化された確率過程には存在して、ホワイトノイズ過程と呼ばれている。

一般化された確率過程は Hida (1980), Adler (1981), Rozanov (1982), Hida, Kuo,Potthoff and Streit (1993), Kuo (1996) or Holden, Øksendal, Ubøe and Zhang(1996)に詳しい。

ここではその定義について述べるのではなく、W_t を通常の確率過程に置き換えることができる場合を考えるために、いくらかの式変形をする。 0=t_0\lt t_1\cdots\lt t_m $ とし、離散版 $X_k を次のように定める。

X_j=X(t_j).\quad \Delta t_k = t_{k+1}-t_k.

X_{k+1}-X_{k}=b(t_k,X_k)\Delta t_k+\sigma(t_k,X_k)W_{t_k}\Delta t_k.\tag{3.1.3}

\Delta V_k=W_{t_k}\Delta t_k.

\Delta V_k=V_{t_{k+1}}-V_{t_k} とすると、上の W_{t_k} の満たすべき性質から、 V_{t_k} は平均0の定常独立増分を有することがわかる。この性質を満たすような確率過程は、ブラウン運動 B_t であることが知られている。よって V_t=B_t として、(3.1.3)から次が得られる。

X_{k}=X_0+\sum_{j=0}^{k-1} (b(t_j,X_j)\Delta t_j+\sigma(t_j,X_j)B_{t_j}).

\Delta t_j\rightarrow 0 のとき和が積分に変わって

X_{t}=X_0+\int_0^tb(s,X_s)ds+\int_0^t\sigma(s,X_s)dB_s.

となると考えたいが、これは数学的に根拠づけられたものではない。(とくに、\int dB_s) そこで、この確率過程による積分を定式化することにする。この定式化の手法の一つが伊藤積分である。

ここで記号を厳密にしておく。B_s(\omega):[0,\infty]\times \Omega\rightarrow \mathbb{R} を原点を始点とする一次元ブラウン運動とする。写像 f(s,\omega):[0,\infty]\times\Omega\rightarrow\mathbb{R} とする。次の「積分」について考える。(0\lt S\lt T)

\int_S^Tf(s,\omega)B_s(\omega).

まず、f=\phi を次を満たすような関数とする。ここで U_j=[j/2^{n},(j+1)/2^{n}) と定める。

\phi(t,\omega)=\sum_{j\geq 0}e_j(\omega)\mathcal{X}_{U_j}(t).

ここで e_k(\omega):\mathbb{N}\times\Omega\rightarrow\mathbb{R} で、\mathcal{X} は次を満たす特性関数。

\mathcal{X}_U(t)=\begin{cases}0 &(t\notin U),\\1&(t\in U).\end{cases}

このような単純な関数について、次のように積分を定義してみる。

\int_S^Tf(s,\omega)B_s(\omega)=\sum_{j\geq 0}e_{j}(\omega)(B_{t_{j+1}}-B_{t_{j}})(\omega).

また、

t_k = k/2^n.

あるいは、k/2^n が S\sim T の範囲内にないならば、( k/2^n\leq S のとき)t_k=S か、( k/2^n\geq T のとき) t_k=T と定める。

この定義が発展性があるか見るために、次のような例を考えてみる。

\phi_1(t,\omega)=\sum_{j\geq 0}B_{t_j}(\omega)\mathcal{X}_{U_j}(t).

\phi_2(t,\omega)=\sum_{j\geq 0}B_{t_{j+1}}(\omega)\mathcal{X}_{U_j}(t).

これについて

E\left[\int_0^T\phi_1(t,\omega)dB_t(\omega)\right]=\sum_{j\geq 0}E[B_{t_j}(B_{t_{j+1}}-B_{t_j})]=0.

E\left[\int_0^T\phi_2(t,\omega)dB_t(\omega)\right]=\sum_{j\geq 0}E[B_{t_{j+1}}(B_{t_{j+1}}-B_{t_j})]\\ =\sum_{j\geq 0}E[(B_{t_{j+1}}-B_{t_j})^2]=T.

となる。この結果について考察する。まず、\phi_1 と \phi_2 は f(t,\omega)=B_t(\omega) の近似であることを指摘する。これはその定義からわかる。n が十分大きければほとんど同じになる。

一方で、二つの積分結果が大きく異なっていることもわかる。これでは、この積分は理論が求めるような一貫性を提供することができない。ほとんど同じ関数の積分は、ほとんど同じであるべきである。

これが生じるのは、 B_t が作る軌跡(である関数)の全体がリーマンスティルチェス積分が定義されるクラスよりも大きいことに由来する現象である。t\rightarrow B_t はほとんど確実に微分不能な関数である。

そこで、これらの関数 f を単純可測関数に類似した以下のような関数で近似する。(あるいは、近似可能な関数のクラスを考える)

\sum_jf(t'_j,\omega)\mathcal{X}_{U_j}(t).

ここで、t'_j\in U_j の定数である。そして、積分を

\int_S^Tf(t,\omega)dB_t(\omega)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j\geq 0}f(t'_j,\omega)(B_{t_{j+1}}-B_{t_j})(\omega).

と定める。しかしこの場合、t'_j の取り方によって値は変わってくる。(リーマン積分なら変わらないが) このとき、

• t'_j を U_j=[t_j,t_{j+1}] の左の端点とする。すなわち t'_j=t_j を満たすとき 伊藤積分 といい、次のように書く。

\int_S^Tf(t,\omega)dB_t(\omega).

• t'_j を U_j=[t_j,t_{j+1}] の中間点とする。すなわち t'_j=(t_j+t_{j+1})/2 を満たすとき Stratonovich 積分 とい、次のように書く。

\int_S^Tf(t,\omega)\circ dB_t(\omega).

次では、伊藤積分について述べる。

定義 t を時間の定数とし、 B_i(\omega) をn次元ブラウン運動とする。 \mathcal{F}_t=\mathcal{F}_t^{(n)} が次を満たす最小の \sigma 代数であるとき、 \{B_{t_i}\}_{i\in[1,k]} から生成された \sigma 代数という。ここで\mathbb{R}^n 上のボレル集合 \mathcal{B} 、t_k\leq t とする。

\{\{\omega\mid B_{t_1}(\omega)\in F_1,\cdots,B_{t_k}(\omega)\in F_k\}\mid F_k\in\mathcal{B}\}\subset \mathcal{F}_t.

このような \mathcal{F} をしばしば「B_t の時間 t による履歴」という。

定理 ここで \{B_{t_i}\}_{i\in[1,k]} から生成された \mathcal{F}_t 上のある写像 h が\mathcal{F}_t 可測であることと確率1で有界な連続関数の列 \{g_k\} によって次のように表せることが同値である。

h(\omega)=\prod_{i=1}^k g_i(B_{t_i}(\omega)).

この定理によると、 h(\omega)=B_{2t}(\omega) などは \mathcal{F}_t 可測ではない。(B_{2t}=B_k を満たすような k\in[0,t] があればその限りではない)

注意として、\forall s\lt t,\mathcal{F}_s\subset\mathcal{F}_t である。

定義 集合 \Omega , T とする。 \{\mathcal{N}_t\}_{t\geq 0} を \Omega 上の \sigma 代数の増大族とする。ある過程 g(t,\omega):T\times\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n が \mathcal{N}_t 適合であるとは、次を満たすことをいう。

• \forall t\in T,f_t(\omega)=g(t,\omega) \text{が}\mathcal{N_t} 可測.

例:この定義によると、h_1(t,\omega)=B_{t/2}(\omega) は \mathcal{N}_t 適合だが、h_2(t,\omega)=B_{2t}(\omega) は違う。

次に伊藤積分が定義可能な関数のクラスを定義する。

定義 3.1.4 : 関数クラス \mathcal{V}=\mathcal{V}(S,T) を次を満たすような写像の集合とする。ここで T, \Omega を集合、\mathcal{B,F} を T,\Omega のボレル \sigma 代数と \sigma 代数とする。ブラウン運動 \{B_t\} とし、 \{B_t\} から生成された \sigma 代数の列を \{\mathcal{F}_t\} とする。

f(t,\omega):T\times\Omega\rightarrow\mathbb{R}.

1. f は \mathcal{B\times F} 可測。
2. f は \mathcal{F}_t 適合。
3. E[\int_S^Tf(t,\omega)^2dt]\lt \infty.

伊藤積分の定義

まず、上で上げたような単純な関数が、\mathcal{V} 中の関数を近似できることを示す。次に、その単純な関数の積分値の極限として、\mathcal{V} の関数の積分値として定める。

定義 単純関数 : 関数 \phi\in\mathcal{V} が単純(Elementary)であるとは、次を満たすことをいう。ここでe_j は \mathcal{F}_{t_j} 可測関数。\mathcal{X} は特性関数。U_j=[t_j,t_{j+1}).

\phi(t,\omega)=\sum_je_j(\omega)\mathcal{X}_{U_j}(t).

なので、この定義から上の例にあった \phi_1 は単純であるが、 \phi_2 は単純ではない。

定義 積分 : 単純関数 \phi と一次元ブラウン運動 B_t について、次のように定める。

\int_S^T\phi(t,\omega)dB_t(\omega)=\sum_{j\geq 0}e_j(\omega)(B_{t_{j+1}}-B_{t_j})(\omega).

次の重要な補題が成立する。

定理 伊藤の等長性: \phi(t,\omega) が有界で単純ならば、次を満たす。

E\left[\left(\int^T_S\phi(t,\omega)dB_t(\omega)\right)^2\right]=E\left[\int^T_S\phi(t,\omega)^2dt\right].

証明 :\Delta B_j=B_{t_{j+1}}-B_{t_j} とする。このとき

E[e_ie_j\Delta B_i\Delta B_j]= \begin{cases} 0, &(i\neq j)\\ E[e_j^2] (t_{j+1}-t_j). &(i=j) \end{cases}

である。ここで i\lt j のとき e_ie_j\Delta B_i と \Delta B_j が独立であることを用いた。これより、次が成立する。

\begin{aligned} E[(\int_S^T\phi dB)^2]&=\sum_{ij}E[e_ie_j\Delta B_i\Delta B_j]\\ &=\sum_{j}E[e_j^2] (t_{j+1}-t_j)\\ &=E[\int_S^T\phi^2dt]. \end{aligned}

よって示された。□

この等長性を利用するためにいくつかの定理を証明する。

定理 (step 1) 任意の写像 g\in\mathcal{V} について、 g が有界かつ任意の \omega で t について連続ならば以下を満たす単純関数の列 \{\phi_n\}_n\subset\mathcal{V} が存在する。

\lim_{n\rightarrow\infty}E[\int_S^T(g(t,\omega)-\phi_n(t,\omega))^2dt]= 0.

証明 : \phi_n を次のように定める。ここで U_j=[t_j,t_{j+1}), \{t_j\}_{j\in[0,n)}, \forall j\in\{t_j\}_j,S\leq t_j\leq T とする。

\phi_n(t,\omega)=\sum_jg(t_j,\omega)\mathcal{X}_{U_j}(t).

g\in\mathcal{V} であるため、 \phi_n は単純である。また、g(\cdot,\omega) が任意の \omega で( t について)連続なので、

\lim_{n\rightarrow\infty}\int_S^T(g(t,\omega)-\phi_n(t,\omega))^2dt=0.

が任意の \omega に対して成立する。よって期待値も有界収束定理より 0 である。□

定理 (step 2) 写像 h\in\mathcal{V} を有界な写像とする。このとき次を満たす有界な写像の列 \{g_n\}_n\subset\mathcal{V} が存在する。

• \forall\omega,n,g_n(t,\omega) が t について連続。
• \lim_{n\rightarrow\infty}E[\int_S^T(h(t,\omega)-g_n(t,\omega))^2dt]=0.

証明 h が有界なので、次が成立する。

\forall t,\omega,\exists M,|h(t,\omega)|\leq M.

ここで以下を満たす非負連続写像の列 \{\psi_n\}_n:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} を考える。

• \forall x\in\mathbb{R}-[-1/n,0],\psi_n(x)=0.
• \int_{\mathbb{R}}\psi_n(x)dx=1.

この \psi_n を利用して以下の g_n を定義する。

g_n(t,\omega)=\int_0^t\psi_n(s-t)h(s,\omega)ds.

このとき、h が \mathcal{F}_t 可測であることを用いて、g_n も任意の t に対して連続であることが示せることが知られている。(see e.g. Karatzas and Shreve (1991), p. 133 for details.) そこで、g_n は t について連続であるとする。さらに \psi_n が『近似単位元』(See e.g. Hoffman (1962,p. 22).)であるため、次が成立する。

\forall\omega,\lim_{n\rightarrow\infty}\int_S^T(g_n(s,\omega)-h(s,\omega))^2ds=0.

よって有界収束定理より

\lim_{n\rightarrow\infty}E[\int_S^T(g_n(s,\omega)-h(s,\omega))^2ds]=0.

□

定理 (step 3) f\in\mathcal{V} とする。以下を満たす有界な関数列 \{h_n\}\subset\mathcal{V} が存在して次を満たす。

• h_n は有界。
• \lim_{n\rightarrow\infty}E[\int_S^T(f-h_n)^2dt]=0.

証明 h_n を次のように定める。

h_n(t,\omega) = \begin{cases} -n, &(f(t,\omega)\lt -n)\\ f(t,\omega), &(-n\leq f(t,\omega)\leq n)\\ n. &(n\lt f(t,\omega)) \end{cases}

すると有界収束定理より成立する。□

この(step 1) (step 2) (step 3) を利用して、次のようにする。

• まず、任意の f\in\mathcal{V} についてある単純関数の列 \{\phi_n\}_n が存在して

\lim_{n\rightarrow\infty}E[\int_S^T|f-\phi_n|^2dt]=0.

を満たすので、ここで伊藤積分を

\mathcal{I}(f)(\omega)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_S^T\phi_n(t,\omega)dB_t(\omega).

と定める。ここでこの極限は L^2(P) (\Omega 上のL2空間) にある。というのも、\{\int\phi_n(t,\omega)dB_t(\omega)\} が伊藤の等長性から二乗可積分関数であるため L^2(P) のコーシー列を成すためである。

これをまとめると次のようになる。

定義 伊藤積分 : f\in\mathcal{V}(S,T) とする。f の伊藤積分を次のように定める。

\int_S^Tf(t,\omega)dB_t(\omega)=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_S^T\phi_n(t,\omega)dB_t(\omega).\tag{3.1.12}

ここで \{\phi_n\}_n は次をみたす単純関数の列。

\lim_{n\rightarrow\infty}E[\int_S^T(f(t,\omega)-\phi_n(t,\omega))^2dt]= 0.\tag{3.1.13}

このような \phi_n の列が存在することは、上の (step 1~3) で保証されている。また、上の二式は \phi_n の選び方に依存しない。これは(3.1.13)による。

また単純関数でも成立した次の性質は、 \mathcal{V} でも成立する重要な定理である。

定理 伊藤の等長性 : 任意の f\in\mathcal{V} について次が成立する。

E[(\int_S^Tf(t,\omega)dB_t)^2]=E[\int_S^Tf(t,\omega)^2dt].

定理 3.1.8 任意の f\in\mathcal{V} について 1. を満たすような写像の列 \{f_n\}\subset\mathcal{V} が存在するならば、2. を満たす。

1. \lim_{n\rightarrow\infty}E[\int_S^T(f_n-f)^2dt]=0.
2. L^2(P) において
   \lim_{n\rightarrow\infty}\int_S^Tf_n(t,\omega)dB_t(\omega)=\int_S^Tf(t,\omega)dB_t(\omega).

最後にブラウン運動で伊藤積分の例を上げる。

Example (3.1.9) : B_0=0 とする。このとき、

\int_0^tB_sdB_s=\frac{1}{2}(B_t^2-t).

であることを示す。

まず、単純関数の列を考える必要がある。\phi_n(s,\omega)=\sum B_j(\omega)\mathcal{X}_{U_j}(s) とする。ここで B_j=B_{t_{j}}, U_j=[t_j,t_{j+1}), j\in [0,n-1] である。このとき差が0に収束することを一応示しておく。

\begin{aligned} E[\int_0^t(\phi_n-B_s)^2ds]&=E[\sum_j\int_{t_j}^{t_{j+1}}(B_j-B_s)^2ds]\\ =\sum_j\int_{t_j}^{t_{j+1}}(s-t_j)ds &=\sum_j(t_{j+1}-t_j)^2\rightarrow 0. \quad (\Delta t_j \rightarrow 0) \end{aligned}

ここで\Delta t_j\rightarrow 0 と "n\rightarrow\infty" は同じこと。このとき定理3.1.8から B_s と \phi_n の積分結果は等しくなる。

\int_0^tB_sdB_s=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^t\phi_ndB_s=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j=0}^{n-1}B_j(B_{j+1}-B_j).

このとき、\Delta B_j=B_{j+1}-B_j として

B_{j+1}^2-B_j^2=(B_{j+1}-B_j)^2+2B_j(B_{j+1}-B_j)\\ =(\Delta B_j)^2+2B_j\Delta B_j.

より両辺に \sum_{j=0}^{n-1} をつけ B_0=0を用いると

B_n^2=\sum_j(\Delta B_j)^2+2\sum_jB_j\Delta B_j.\\ \frac{1}{2}(B_n^2-\sum_{j=0}^{n-1}\Delta B_j^2)=\sum_j B_j\Delta B_j.

ここで \lim_{n\rightarrow\infty}B_n=B_t かつ \lim_{n\rightarrow\infty}\Delta B_j^2=t を用いると

\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j=0}^{n-1}B_j\Delta B_j=\frac{1}{2}(B_t^2-t).

よって示された。□

3.2 伊藤積分の性質

まず、次の定理が成立することを見る。

定理 3.2.1 : \forall f,g\in\mathcal{V}(0,T) とする。0\leq S\lt U\leq T とする。

1. \omega について確率1で次が成立する。
   
   \int_S^TfdB_t=\int_S^UfdB_t+\int_U^TfdB_t.
2. 定数 c\in\mathbb{R} として、\omega について確率1で次が成立する。
   
   \int_S^Tcf+gdB_t=c\int_S^TfdB_t+\int_S^TgdB_t.
3. E[\int_S^TfdB_t]=0.
4. 以下の \mathcal{I}(f) は\mathcal{F}_T 可測関数である。
   
   \mathcal{I}(f)=\int_S^TfdB_t.

証明 : これらは単純関数で自明に成り立つため、その極限を取れば成立することが確かめられる。□

次に、伊藤積分の重要な性質、積分結果がマルチンゲールになることを見る。まずマルチンゲールを定義する。

定義 : 測度空間 (\Omega,\mathcal{F}) とする。\mathcal{F} の部分 \sigma 集合族の族 \{\mathcal{M}_t\}_{t\in\mathbb{N}} がフィルトレーションであるとは、単調非減少であることをいう。

\forall 0\leq s\leq t\rightarrow \mathcal{M_s}\subset\mathcal{M_t}.

定義 : 確率空間 (\Omega,\mathcal{F},P) の n次元確率過程 \{M_t\}_{t\in\mathbb{N}} が以下を満たすとき、フィルトレーション \{\mathcal{M}_t\} ( と確率測度 P ) についてのマルチンゲールという。

• 任意の t について M_t が \mathcal{M_t} 可測。
• 任意の t について E[|M_t|]\lt\infty.
• 任意の s\geq t について E[M_s\mid\mathcal{M}_t]=M_t.

この期待値は P_0 で取られる。

上のマルチンゲールを P についての \mathcal{M}_t マルチンゲール ともいう。

マルチンゲールの例: ブラウン運動 B_t は \{B_t\} によって生成された \{\mathcal{F}_t\} に関するマルチンゲールである。

• E[|B_t|]^2\leq E[|B_t|^2]=|B_0|^2+nt.
• E[B_s\mid\mathcal{F}_t] = E[B_s-B_t+B_t\mid\mathcal{F}_t]\\=E[B_s-B_t\mid\mathcal{F}_t]+E[B_t\mid\mathcal{F}_t]=0+B_t.
  ここでB_s-B_t が \mathcal{F}_t と独立なので E[B_s-B_t\mid\mathcal{F}_t]=E[B_s-B_t]=0 を用いた。

連続なマルチンゲールは、以下の不等式を満たすことが知られている。(See e.g. Stroock and Varadhan (1979), Theorem 1.2.3 or Revuz and
Yor (1991), Theorem II.1.7)

定理 Doob のマルチンゲール不等式 : M_t がマルチンゲールで、1. を満たすならば 2. を満たす。

1. f(t) = M_t(\omega) が確率1で連続。
2. \forall p\geq 1,T\geq 0,\lambda\gt 0,\\P[\sup_{0\geq t\geq T}|M_t|\geq\lambda]\leq \frac{1}{\lambda^p}E[|M_T|^p].

この不等式を用いると、伊藤積分の結果を確率過程とみて、その過程が連続な version を持つことを示すことができる。

定理 3.2.5 : f\in\mathcal{V}(0,T) とする。以下の確率過程 \{J_t\} について、t に関して連続な version が存在する。

\forall 0\leq t\leq T,J_t(\omega)=\int_0^tf(s,\omega)dB_s(\omega).

(versionの定義の復習: J_t が P_t の version であるとは、\forall t,P(P_t=J_t)=1 が満たされることであった)

証明 : 単純関数 \phi_n を以下のように定める。

\phi_n(t,\omega) = \sum_je_j^{(n)}(\omega)\mathcal{X}_{[t_j^{(n)},t_{j+1}^{(n)})}(t).

E[\int_0^T(f-\phi_n)^2dt]\rightarrow 0.\quad n\rightarrow\infty.

このとき積分値について次のように定義する。

I_n(t,\omega)=\int_0^t\phi_n(s,\omega)dB_s(\omega).

\forall t\in[0,T],I_t=I(t,\omega)=\int_0^tf(s,\omega)dB_s(\omega).

ここで I_n は任意の n と \omega で t について連続である。また、I_n は以下より \{\mathcal{F}_t\} に関するマルチンゲールである。

\begin{aligned} E[I_n(s,\omega)|\mathcal{F}_t]&=E[\int_0^s\phi_ndB_s + \int_s^t\phi_ndB_s|\mathcal{F}_t]\\ &=\int_0^t\phi_ndB + E[\sum_{t\leq t_j^(n)\leq t_{j+1}^{(n)}\leq s}e^{(n)}_j\Delta B_j | \mathcal{F}_t]\\ &=\int_0^t\phi_ndB+\sum_jE[E[e_j^{(n)}\Delta B_j|\mathcal{F}_{t_j^{(n)}}]|\mathcal{F}_t]\\ &=\int_0^t\phi_ndB+\sum_jE[e_j^{(n)}E[\Delta B_j|\mathcal{F}_{t_j^{(n)}}]|\mathcal{F}_t]\\ &=\int_0^t\phi_ndB = I_n(t,\omega). \tag{3.2.2} \end{aligned}

ここで t\lt s である。またAppendix Bの定理を用いた。

さらに I_n-I_m も \mathcal{F}_t のマルチンゲールなので、マルチンゲール不等式から以下が成立する。

P[\sup|I_n(t,\omega)-I_m(t,\omega)|\gt \epsilon]\leq \frac{1}{\epsilon^2}E[|I_n(T,\omega)-I_m(T,\omega)|^2]\\ =\frac{1}{\epsilon^2}E[\int_0^T(\phi_n-\phi_m)^2ds]\rightarrow 0. \quad (m,n\rightarrow\infty)

よって P(\sup|\cdots|) が0に収束することがわかったので、ある k が存在して、以下を満たす。

P[\sup_{0\leq t\leq T}|I_{n_{k+1}}-I_{n_k}(t,\omega)|\gt 2^{-k}]\le 2^{-k}.

さらにボレルカンテリの補題より、次が成立する。

P[\bigcap_{m=0}^\infty\bigcup_{k=m}^\infty\{\omega\mid\sup_{0\leq t\leq T}|I_{n_{k+1}}(t,\omega)-I_{n_k}(t,\omega)|^2\gt 2^{-k}\}]=0.

よって \omega について確率1で次を満たす k_1(\omega) が存在する。

\forall k\geq k_1(\omega),\sup_{0\leq t\leq T}|I_{n_{k+1}}(t,\omega)-I_{n_k}(t,\omega)|\leq 2^{-k}.

これより I_{n_k}(t,\omega) がすべての t と \omega で n_k について一様収束するので、以下のように書くことにする。

\text{a.s.}\lim_{n_k}I_{n_k}(t,\omega)=J_t(\omega).

つまり、 J_t が求めたい version である。□

この定理を用いて、常に以下のような伊藤積分の積分結果 \mathcal{I}(t) は t について連続であるとする。

\mathcal{I}(t)=\int_0^tf(s,\omega)dB_s(\omega).

このとき、以下の定理が成立する。

定理 3.2.6 : f(t,\omega)\in\mathcal{V}(0,T) とする。このとき以下の M_t は \mathcal{F}_t に対するマルチンゲールである。

M_t(\omega)=\int_0^tf(s,\omega)dB_s.

また、任意の \lambda,T\gt 0 について以下が成立する。

P[\sup_{0\leq t\leq T}|M_t|\geq \lambda]\leq\frac{1}{\lambda^2}E[\int_0^Tf(s,\omega)^2ds].

証明 : (3.2.2) 、 M_t が t について連続であること、 マルチンゲール不等式、伊藤不等式 から成立する。□

3.3 伊藤積分の拡張

今定義した \mathcal{V} よりも広い対象に伊藤積分は定義可能である。

第一の拡張

第一の拡張として、定義3.1.4 (\mathcal{V} の定義)の2.を次のように拡張する。

定義 3.1.4' 可伊藤積分関数 \mathcal{V} : 時刻の集合 \mathrm{T} とし、 S,T\in\mathrm{T} とする。 S から T の間で積分可能な関数クラス \mathcal{V}=\mathcal{V}(S,T) を次を満たすような写像の集合とする。ここで T, \Omega を集合、\mathcal{B,F} を T,\Omega のボレル \sigma 代数と \sigma 代数とする。ブラウン運動 \{B_t\} とし、 \{B_t\} から生成された \sigma 代数の列を \{\mathcal{F}_t\} とする。

f(t,\omega):T\times\Omega\rightarrow\mathbb{R}.

1. f は \mathcal{B\times F} 可測。
2. 以下を満たすような \sigma 代数の増大族(フィルトレーション) \{\mathcal{H}_t\} が存在する。
   1. B_t が \mathcal{H}_t のマルチンゲールである。
   2. f_t が \mathcal{H}_t に適合である。
3. E[\int_S^Tf(t,\omega)^2dt]\lt \infty.

これをフィルトレーション \mathcal{H}=\{\mathcal{H}_t\} による可伊藤積分関数のクラス \mathcal{V} ともいい、\mathcal{V}_{\mathcal{H}} と書くことがある。

また、このように定義を拡張しても、 \forall s\gt t,E[B_s-B_t\mid\mathcal{H}_t]=0 は成立するので、ほかの証明に問題はない。

これによって複数次元の伊藤積分を考えることが可能になる。まず複数次元のブラウン運動 (B_1(t,\omega),\cdots,B_n(t,\omega)) を考える。ここで、\mathcal{F}^{(n)}_t を以下のように定める。

• \mathrm{T} の元の列 \{s_1,\cdots,s_n\} を考える。( S\leq s_k\leq T )
• \mathcal{F}^{(n)}_t を \{B_1(s_1,\omega),\cdots,B_n(s_n,\omega)\} から生成された \sigma 代数であるとする。

ここで任意の k について、B_k は \mathcal{F}^{(n)}_t に関するマルチンゲールになる。

\mathcal{F}^{(n)}_t 適合な写像 f_k を考える。

新しい定義では適合する対象が \mathcal{B}_t をマルチンゲールにさえすれば積分可能であるので、f_k の適合する \mathcal{F}^{(n)}_t が \mathcal{B}_lをマルチンゲールにするから以下のような積分を考えることができる。

\int_0^tf_k(t,\omega)dB_l.

これを用いて多次元の伊藤積分を考えることができる。

定義 多次元伊藤積分 : B=(B_1,B_2,\cdots,B_n) を n 次元ブラウン運動とする。\mathcal{V}^{m\times n}_{\mathcal{H}}(S,T) を増大系 \mathcal{H}=\{\mathcal{H}_t\} による可伊藤積分関数 v_{m,n}(t,\omega) の [m,n] 行列とする。

v\in \mathcal{V}^{m\times n}_{\mathcal{H}}(S,T) を以下を満たすとする。

\begin{aligned} \int_S^TvdB&=\int_S^T \begin{pmatrix} v_{11},&\cdots&v_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ v_{m1}&\cdots&v_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dB_1\\ \vdots\\ dB_n \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \displaystyle\sum_{j=1}^n\int_S^Tv_{1j}(s,\omega)dB_j(s,\omega)\\ \vdots\\ \displaystyle\sum_{j=1}^n\int_S^Tv_{nj}(s,\omega)dB_j(s,\omega)\\ \end{pmatrix}. \end{aligned}

• \mathcal{V}^{1\times n}_{\mathcal{H}}(S,T) を \mathcal{V}^{n}_{\mathcal{H}}(S,T) と書くことがある。
• \mathcal{V}^{m\times n}=\mathcal{V}^{m\times n}_{\mathcal{H}}(0,\infty)=\bigcap_{T\gt 0}\mathcal{V}^{m\times n}_{\mathcal{H}}(0,T) とすることがある。

第二の拡張

第二の拡張として、定義3.1.4' (\mathcal{V} の定義)の3.を次のように拡張する。

定義 3.1.4'' \mathcal{W} : 時刻の集合 \mathrm{T} とし、 S,T\in\mathrm{T} とする。 S から T の間で伊藤積分可能な関数クラス \mathcal{W}_{\mathcal{H}}(S,T) を次を満たすような写像の集合とする。ここで T, \Omega を集合、\mathcal{B,F} を T,\Omega のボレル \sigma 代数と \sigma 代数とする。ブラウン運動 \{B_t\} とし、 \{B_t\} から生成された \sigma 代数の列を \{\mathcal{F}_t\} とする。

f(t,\omega):T\times\Omega\rightarrow\mathbb{R}.

1. f は \mathcal{B\times F} 可測。
2. 以下を満たすような \sigma 代数の増大族(フィルトレーション) \{\mathcal{H}_t\} が存在する。
   1. B_t が \mathcal{H}_t のマルチンゲールである。
   2. f_t が \mathcal{H}_t に適合である。
3. P[\int_S^Tf(t,\omega)^2dt\lt \infty]=1.

ここで、いままでと同様に以下のように定める。

• \mathcal{H}=\{\mathcal{H}_t\} による可伊藤積分関数 \mathcal{W}(S,T) を \mathcal{W_H}(S,T) と書く。
• \mathcal{W_H}=\mathcal{W_H}(0,\infty)=\bigcap_{T\gt 0}\mathcal{W_H}(0,T).
• \mathcal{W_H} の元による [m,n] 行列を \mathcal{W_H}^{m\times n} と書く。

また、新しく次のように定める。

• \mathcal{H=F}^{(n)}=\{\mathcal{F}^{(n)}_t\} ならば、 \mathcal{W}_{\mathcal{F}^{(n)}}(S,T) を \mathcal{W}(S,T) と書く。
• \mathcal{F}^{(n)} を \mathcal{F} と書く。

注意として、この定義3.1.4'' 上の積分結果は、今までの \mathcal{V} とは異なってマルチンゲールとなるとは限らない。Dudley’s Theorem の例。しかし、局所マルチンゲールではある。(See Karatzas and Shreve (1991), p. 146. See also Exercise 7.12.)

伊藤積分と Stratonovich 積分の比較

最初のほうで、以下のような微分方程式の問題を提起した。

\frac{dX}{dt}=b(t,X_t)+\sigma(t,X_t)W_t.

この方程式の解、X_t は次のような「積分」であらわされるとした。

X_t=X_0+\int_0^t b(s,X_s)ds+"\int_0^t\sigma(s,X_s)dB_s".\tag{3.3.3}

この積分として、伊藤積分を採用するのは、いくつかの理由から合理的である。しかし、Stratonovich 積分も適している場合がある。

B_t^{(n)} を t について連続で微分可能な確率過程で、確率1で ( 時刻 S,T の間 ) 以下のように一様収束するとする。

\lim_{n\rightarrow\infty}B^{(n)}(t,\omega)\rightarrow B(t,\omega).

また、任意の \omega について X_t^{(n)}(\omega) を以下の方程式の解とする。

\frac{X_t}{dt}=b(t,X_t)+\sigma(t,X_t)\frac{dB_t^{(n)}}{dt}.

B^{(n)} が ( 時刻 S,T の間 ) 一様収束するなら、 \lim_{n\rightarrow\infty}X_t^{(n)}=X_t(\omega) のように一様収束するような X_t が存在してほしい。

このとき、以下のような事実が Wong and Zakai (1969) and Sussman (1978) に明らかにされている。

Stratonovich 積分によって(3.3.3) 式を積分して得られる解は、この解 X_t が満たしてほしい性質を満たしている。つまり、

X_t=X_0+\int_0^t b(s,X_s)ds+\int_0^t\sigma(s,X_s)\circ dB_s.

また、これの性質を満たすような以下のような modified 伊藤積分も考案されている。(See Stratonovich (1966))

X_t=X_0+\int_0^tb(s,X)ds+\frac{1}{2}\int_0^t\sigma'(s,X_s)\sigma(s,X_s)ds \\+ \int_0^t\sigma(s,X_s)dB_S.

ここで \sigma'=d\sigma/dx.

以上からわかることは、この観点 (収束するものが存在してほしい) からでは以下の通常の伊藤積分よりも、Stratonovich 積分や Modified 伊藤積分の方が優れているということである。

X_t=X_0+\int_0^t b(s,X_s)ds+\int_0^t\sigma(s,X_s)dB_s.

ちなみに、\sigma が x に依存しない場合、つまり \sigma' = 0 ならば伊藤積分と Modified 伊藤積分は一致する。

この章のまとめとして、二つの使われ方を比較する。

伊藤積分の「未来の情報を必要としない」 (例3.1.1) 性質は、様々な分野で有効な考え方である。また、積分結果がマルチンゲールであるというのは非常に強力な性質である。

一方、Stratonovich 積分は連鎖律との相性がいいので、微分多様体上での確率微分方程式の解析で使われることも多い。 (see Elworthy (1982) or Ikeda and Watanabe (1989)) しかし、積分結果は一般にはマルチンゲールではない。

マルチンゲールであるほうが取り扱いがよいので、本書では主に伊藤積分が用いられる。

4.1 一次元伊藤公式

Example 3.1.9 で示したように、伊藤積分は通常の積分とは異なるふるまいをする。つまり、B_s の積分結果は

\int_0^t B_sdB_s=\frac{1}{2}B_t^2-\frac{1}{2}t,

であるが、このとき余分な項 \frac{1}{2}t がつく。この余分な項のせいで、計算時に不便が生じることが少なくない。そこで、微分積分学の基本定理や連鎖率を成立させるように定義を改良する。

今のところ、伊藤積分に対応する微分の理論を我々は定義していないが、それでも伊藤積分における連鎖率というものを考えることが可能であり、これを伊藤公式と呼ぶ。

伊藤公式は伊藤公式を評価するのに非常に有用であり、その例を以下に記す。例えば、次のような伊藤積分を考える。

\int_0^t B_sdB_s=\frac{1}{2}B_t^2-\frac{1}{2}t.

この式は、以下のように変形可能である。これが伊藤公式の例である。

\frac{1}{2}B_s^2=\frac{1}{2}t+\int_0^t B_sdB_s.\tag{4.1.1}

上の積分の例からわかることは、伊藤積分 B_t=\int_0^tdB_s について \frac{1}{2}B_t^2 は、以下(4.1.1.5)のように伊藤積分単体の積分結果としてではなく、 ds を用いた形(4.1.2)であらわされるということである。

g(B_t)=\frac{1}{2}B_t^2\neq\int_0^tf(s,\omega)dB_s.\tag{4.1.1.5}

\frac{1}{2}B_t^2=\int_0^t\frac{1}{2}ds+\int_0^tB_sdB_s.\tag{4.1.2}

このことを踏まえて、伊藤過程 (確率積分) と呼ばれる、連続な写像の下で不変な ds と dB_s による積分の和を元として持つ集合を導入する。

定義 一次元伊藤過程 : 確率空間 (\Omega,\mathcal{F},P) とする。 B_t を一次元ブラウン運動とする。(一次元) 伊藤過程とは、以下を満たす X_0,u,v を持つ (\Omega,\mathcal{F},P) 上の確率過程 X_t である。

• X_t=X_0+\int_0^tu(s,\omega)ds+\int_0^tv(s,\omega)dB_s.\tag{4.1.3}
• あるフィルトレーション \mathcal{H}=\{\mathcal{H}_t\} が存在して v\in\mathcal{W_H}.
• u は \mathcal{H}_t 適合。

式 (4.1.3) は、短く次のように書かれることがある。

dX_t=udt+vdB_t.\tag{4.1.6}

つまり、例 (4.1.1) は

d(\frac{1}{2}B_t^2)=\frac{1}{2}dt+B_tdB_t.

とあらわされる。ここで、伊藤公式を定義しよう。

定理 一次元伊藤公式 : X_t を以下を満たす伊藤過程とする。

dX_t = udt+vdB_t.

T を時刻の集合として g(t,x)\in C^2(T\times\mathbb{R}) とする。( C^2 は二階連続微分可能関数) このとき以下の Y_t も伊藤過程である。

Y_t=g(t,X_t).

また、Y_t は次のように表すことができる。これを伊藤公式という。

dY_y=\frac{\partial g}{dt}(t,X_t)dt+\frac{\partial g}{dx}(t,X_t)dX_t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 g}{d x^2}(t,X_t)\cdot(dX_t)^2.\tag{4.1.7}

ここで (dX_t)^2=(dX_t)\cdot (dX_t) は以下のルールで計算される。このような規則を伊藤ルールという。

• dt\cdot dt = dt\cdot dB_t = dB_t\cdot dt = 0.
• dB_t\cdot dB_t = dt.

ここで証明する前に伊藤公式の例を見てみよう。

Example 4.1.3 :

I=\int_0^tB_sdB_s.

この伊藤積分について、X_t = B_t, g(t,x)=\frac{1}{2}x^2 とする。ここで Y_t を以下のように定める。

Y_t =g(t,B_t)=\frac{1}{2}B_t^2.

伊藤公式より、Y_t の積分結果は、

dY_t=B_tdB_t+\frac{1}{2}(dB_t)^2=B_tdB_t+\frac{1}{2}t.

よって

\frac{1}{2}=B_tdB_t+\frac{1}{2}t.

である。

Example 4.1.4 :

\int_0^t sdB_s.

この伊藤積分の結果は、通常の積分の結果を考えると tB_t が妥当であろう。実際に伊藤公式を用いて評価してみる。

g(t,x)=tx として、X_t = B_t で計算すると、

dY_t = B_tdt + tdB_t + 0.

tB_t=\int_0^tB_sds+\int_0^tsdB_s.

tB_t-\int_0^tB_sds=\int_0^tsdB_s.

である。これは部分積分である。

定理 部分積分 : f(s,\omega) をs\in T かつ確率1で連続で有界変動であるとする。このとき次が成立する。

\int_0^tf(s)dB_s=f(t)B_t-\int_0^tB_sdf_s.

伊藤公式の証明の概要だけ述べる。

伊藤公式 (4.1.7) の dX_t を

dX_t=udt+vdB_t.

のように置換すると以下のようになる。ここで u_s=u(s,\omega), v_s=v(s,\omega) である。

g(t,X_t)=g(0,X_0)+\int_0^t(\frac{\partial g}{\partial s}(s,X_s)+u_s\frac{\partial g}{\partial x}(s,X_s)+\frac{1}{2}v_s^2\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(s,X_s))ds\\+\int_0^tv_s\frac{\partial g}{\partial x}(s,X_s)dB_s.\tag{4.1.9}

これは (4.1.1) の意味での伊藤積分になっている。そこで (4.1.9) を証明することを考える。

g , \partial g/\partial t , \partial g/\partial x, \partial^2 g/\partial x^2 が有界であると仮定して(4.1.9) が示された場合、有界なC^2 関数の列 g_n, \partial g_n/\partial t , \partial g_n/\partial x, \partial^2 g_n/\partial x^2 で g \partial g/\partial t , \partial g/\partial x \partial^2 g/\partial x^2 に一様収束 g_n\rightarrow g する関数列を用いることによって一般的な場合の証明を得ることができる。

さらに X_t 内部の v\in \mathcal{W_H} について、(3.3.1) から、また \mathcal{H}_t 適合な u についても同様に、それに収束する単純関数の列が存在するため、ここでは単純関数であるとする。

ここで g(t,X_t) に対してテイラー展開を用いて ( T の列 \{t_j\} と \{X_j\} を考え、t_{last}=t, X_{t_{last}}=X_t として )

g(t,X_t)=g(0,X_0)+\sum_j (g(t_{j+1},X_{j+1})-g(t_j,X_j))\\ =g(0,X_0)+\sum_j\frac{\partial g}{\partial t}\Delta t_j\\+\sum_j\frac{\partial g}{\partial x}\Delta X_j+\frac{1}{2}\sum_j\frac{\partial^2 g}{\partial t^2}(\Delta t_j)^2\\+\sum_j\frac{\partial^2 g}{\partial t\partial x}(\Delta t_j)(\Delta X_j)+\frac{1}{2}\sum_j\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(\Delta X_j)^2\\ +\sum_j R_j.

となる。ここで (t_j,X_{t_j}) まわりでの展開で、\Delta t_j = t_{j+1}-t_j, \Delta X_j = X_{t_{j+1}}-X_{t_j} である。(剰余項 R_j)

ここで \Delta t_j\rightarrow 0 と極限をとると、

\sum_j\frac{\partial g}{\partial t}\Delta t_j=\sum_j\frac{\partial g}{\partial t}(t_j,X_j)\Delta t_j\rightarrow \int_0^t\frac{\partial g}{\partial t}(s,X_s)ds.

\sum_j\frac{\partial g}{\partial x}\Delta X_j=\sum_j\frac{\partial g}{\partial x}(t_j,X_j)\Delta X_j\rightarrow \int_0^t\frac{\partial g}{\partial t}(s,X_s)dX_s.

であるので、また u,v を単純関数であるとしたので、u_j(\omega)=u(t_j,\omega), v_j=v(t_j,\omega) として以下のようにできる。

\newcommand\p{\partial}\newcommand\fr{\frac}\sum_j\frac{\p^2 g}{\p x^2}(\Delta X_j)^2=\sum_j\frac{\p^2 g}{\p x^2}u_j^2(\Delta t_j)^2+2\sum_j\frac{\p^2 g}{\p x^2}u_jv_j(\Delta t_j)(\Delta B_j)\\+\sum\fr{\p^2 g}{\p x^2}v_j^2(\Delta B_j)^2.

ここで最初の二項は \Delta t_j\rightarrow 0 とすると0になる。最後の項が以下のようになることをこれから示す。

\int_0^t\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}v^2ds

まず a(t) を以下のように置く。

a(t)=\frac{\partial g}{\partial x^2}(t,X_t)v^2(t,\omega).

a_j=a(t_j).

このとき、

E[(\sum_ja_j(\Delta B_j)^2-\sum_ja_j\Delta t_j)^2]\\=\sum_{ij}E[a_ia_j((\Delta B_i)^2-\Delta t_j)((\Delta B_j)^2-\Delta t_j)].

さらに i\lt j ならば a_ia_j((\Delta B_i)^2-\Delta t_i) と (\Delta B_j)^2-\Delta t_j が独立なので0になる。また、 i\gt j の場合も同様なので、 i=j の場合のみ残り、

=\sum_jE[a_j^2((\Delta B_j)^2-\Delta t_j)^2]\\=\sum_jE [a_j^2]E[(\Delta B_j)^4-2(\Delta B_j)^2\Delta t_j+(\Delta t_j)^2]\\=\sum_jE[a_j^2](\Delta t_j)^2\rightarrow 0.

この式は積分結果が \lim_{t\rightarrow\infty} で

\sum_ja_j(\Delta B_j)^2\rightarrow \int_0^ta(s)ds.

であることを示したということである。これは

(dB_t)^2=dt.

と記されることも多い。

なので、最後の項について

\sum\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}v_j^2(\Delta B_j)^2=\int_0^t\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}v^2(s)(dB_s)^2=\int_0^t\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}v^2(s)ds.

であるため示された。□

注意 : ある写像 g: T\times U\rightarrow \mathbb{R} が二回微分可能関数 C^2 である条件は、U が開集合で X_t(\omega)\in U を任意の t\geq 0 と \omega\in\Omega に対して満たしていることである。また、g(t,x) が t について C^1 であることと x について C^2 であることの条件でもある。

4.2 多次元伊藤公式

伊藤公式を多次元化することを考えよう。

m次元ブラウン運動 B(t,\omega)=(B_1(t,\omega),\cdots ,B_m(t,\omega)) と定め、n個の伊藤過程 X_{i} に対して次を満たすとする。

dX_{i}(t)=du_idt+\sum_jv_{ij}dB_j(t).

この X_i と u_i と v_{ij} で行列を作って、以下のように簡単に書く。

dX(t)=udt+vdB(t).

このとき、

X(t)=\begin{pmatrix} X_1(t)\\ \vdots\\ X_n(t) \end{pmatrix}.

u=\begin{pmatrix} u_1\\ \vdots\\ u_n \end{pmatrix}.

v=\begin{pmatrix} v_{11}&\cdots & v_{1m}\\ \vdots& &\vdots\\ u_{n1}&\cdots & v_{nm} \end{pmatrix}.

dB(t)=\begin{pmatrix} dB_1(t)\\ \vdots\\ dB_n(t) \end{pmatrix}.

である。このような X(t) を n次元伊藤過程 という。
このとき、なめらかな関数を X に作用させたとき・・・という伊藤公式の一般形を考える。

定理 伊藤公式 : n次元伊藤過程 X を考える。つまり

dX(t)=udt+vdB(t).

とする。g_i:T\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R} を C^2 写像として g(t,x)=(g_1(t,x),\cdots,g_p(t,x)) と定める。このとき次を満たすような過程 Y(t,\omega) を伊藤過程という。

1. Y(t,\omega)=g(t,X(t)).
2. \newcommand\p{\partial}\newcommand\fr{\frac} > dY_k=\fr{\p g_k}{\p t}(t,X)dt+\sum_i\fr{\p g_k}{\p x_i}(t,X)dX_i\\+\fr{1}{2}\sum_{ij}\fr{\p^2 g_k}{\p x_i \p x_j}(t,X)dX_idX_j.
3. dB_idB_j = \delta_{ij}dt.
4. dB_idt = dtdB_i = 0.

証明は一次元のそれと同じなので省略する。

例 4.2.2 : B=(B_1,\cdots B_n) ( n\geq 2 )を n次元ブラウン運動とする。次を満たす写像 R:T\times \Omega を考える。

R(t,\omega) = ||B(t,\omega)||.

この写像 R は C^2 ではないが、原点に戻るということが ( n\geq 2 より ) ないため、伊藤公式を適用可能で、

dR=\sum_{i=1}^n\frac{B_idB_i}{R}+\frac{n-1}{2R}dt.

を得る。この過程 R を n次元ベッセル過程 という。この生成子 (章7) がベッセル微分作用素 Af(x)=\frac{1}{2}f''(x)+\frac{n-1}{2x}f'(x) であるからである。(See Example 8.4.1)

4.3 マルチンゲール表現定理

B(t)=(B_1(t),\cdots B_n(t)) をn次元ブラウン運動とする。定理3.2.6より v\in\mathcal{V}^n ならば次の伊藤積分 X_t ( t\in T ) が常に増大系 (フィルトレーション) \mathcal{F}_t に対するマルチンゲールである。(そして確率測度 P に対するマルチンゲールでもある)

X_t=X_0+\int_0^tv(s,\omega)dB(s).

本章では、さらに以下を証明する。

定理 4.3.4 マルチンゲール表現定理 : 確率測度を P として、任意の P についての \mathcal{F}_t マルチンゲールは伊藤積分として表現可能である。

このマルチンゲール表現定理は多数の応用にとって重要であるが、簡単のために n=1 の場合でしか証明しないが、ほかの n についても同様に証明することができる。

最初に証明に必要な定理を示す。

定理 4.3.1 : 定数 T\gt 0 とする。集合 \Omega とし、確率 P:\Omega\rightarrow [0,1] とする。\Omega ( の \sigma 代数 ) 上のフィルトレーションを \{\mathcal{F}_t\} とする。以下の確率変数の集合が L^2(\mathcal{F}_T,P) 上で稠密である。

\{\phi(B_{t_1},\cdots,B_{t_n})\mid t_i\in[0,T],\phi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^n),n\in\mathbb{N}\}

証明 : \{t_i\}_{i\in\mathbb{N}} を [0,T] の稠密な部分集合とする。任意の n について \mathcal{H}_n を B_{t_1},\cdots,B_{t_n} から生成された \sigma 代数とする。このとき、自明に

\mathcal{H_n\subset\mathcal{H}_{n+1}}

が成立し、\mathcal{F}_T は最小の \mathcal{H}_n をすべて含む \sigma 代数 となる。

このとき写像 g\in L^2(\mathcal{F}_T,P) を一つ選ぶ。このとき、マルチンゲール収束定理 (Appendix C.9) から、以下を得る。

g=E[g\mid\mathcal{F}_T]=\lim_{n\rightarrow\infty}E[g\mid \mathcal{H}_n].

この極限は P について a.e. で成立して、また L^2(\mathcal{F}_T,P) の元である。Doob-Dynkin の補題より、任意の n についてあるボレル可測関数 g_n:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R} が存在して次が成立する。

E[g\mid\mathcal{H}_n]=g_n(B_{t_1},\cdots,B_{t_n}).

このような g_n について \phi_n\in L^2(\mathcal{F}_T,P) で近似可能であり、このとき \phi_n\in C^\infty_0(\mathbb{R}^n) なので、証明が完了した。□

定理 4.3.2 : 以下を満たす確率変数の線形部分空間を考える。

\phi_h(\omega)=\exp(\int_0^Th(t)dB_t(\omega)-\frac{1}{2}\int_0^Th^2(t)dt).\tag{4.3.1}

\{\sum_ka_k\phi_{h_k}\mid a_k\in\mathbb{R}, h_k\in L^2[0,T]\}.

この空間は L^2(\mathcal{F}_T,P) について稠密である。

証明 : (4.3.1) の形式の写像と直交する g\in L^2(\mathcal{F}_T,P) を一つ考える。その後、G を任意の \lambda = (\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\in\mathbb{R}^n と t_1,\cdots,t_n\in[0,T] に対して以下のように定める。

G(\lambda)=\int_\Omega\exp(\sum_i\lambda_iB_{t_i}(\omega))g(\omega)dP(\omega)

ここで \sum_i\lambda_iB_{t_i}(\omega)=\int h(t)dB を満たすような h が存在するので、G(\lambda)=0 である。

この G(\lambda) が \lambda\in\mathbb{R}^n に対して実解析的であるので、G は複素空間 \mathbb{C}^n への拡張が存在して z=(z_1,\cdots,z_n)\in\mathbb{C}^n として以下のように与えられる。

G(z)=\int_\Omega\exp(\sum_{i=1}^nz_iB_{t_i}(\omega))g(\omega)dP(\omega).

ここで \forall \lambda\in \mathbb{R}^n,G(\lambda)=0 あり、また G は解析的であるので、\mathbb{C}^n 上でも G=0 である。特に任意の y=(y_1,\cdots,y_n)\in\mathbb{R}^n について G(iy_1,iy_2,\cdots,iy_n)=0 である。

一方で、任意の \phi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^n) について、 \phi は次を満たす。

\int_\Omega\phi(B_{t_1},\cdots,B_{t_n})g(\omega)dP(\omega)\\ =\int_\Omega\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\left(\int_{\mathbb{R}^n}\hat{\phi}(y)\exp(i\sum_{i=1}^n(y_iB_{t_i}))dy\right)g(\omega)dP(\omega)\\ =\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n}\hat{\phi}(y)\left(\int_\Omega\exp(i\sum_{i=1}^n(y_iB_{t_i}))g(\omega)dP(\omega)\right)dy\\ =\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n}\hat\phi(y)G(iy)dy=0.\tag{4.3.4}

ここで \phi のフーリエ変換 \hat{\phi} は以下。

\hat{\phi}(u)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n}\phi(x)\exp(-ix\cdot y)dx.

\phi(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_\mathbb{R}^n\hat{\phi}(y)\exp(ix\cdot y)dy.(4.3.4)

今n次元ブラウン運動 B(t) を考える。 v(s,\omega)\in\mathcal{V}^n(0,T) として、次の確率変数 V(\omega) を定義する。

V(\omega)=\int_0^Tv(s,\omega)dB(t).

この確率変数は、3.2.6より \mathcal{F}_t に対してマルチンゲールであり、伊藤の等長性 ( と\mathcal{V}の定義 ) より次が成立する。

E[V^2]=\int_0^TE[v^2(t,\cdot)]dt \lt \infty.

次の命題は、すべての F\in L^2(\mathcal{F}_T^{(n)},P) が上の形式で表現されるという主張である。

定理 4.3.3 伊藤の表現定理 : F\in L^2(\mathcal{F}_t^{(n)},P) とする。このとき、以下を満たす確率過程 f(t,\omega)\in\mathcal{V}^n(0,T) が 一意に存在 する。

F(\omega)=E[F]+\int_0^Tf(t,\omega)dB(t).\tag{4.3.6}

証明 : 我々は n=1 の場合のみ考えることにする。(一般の場合も同様に証明可能である)

まず、F が (4.3.1) の形式である。すなわちある h_0 が存在して以下を満たすとする。この F = F_0 とおく。

F_0(\omega)=\exp(\int_0^Th_0(t)dB_t(\omega)-\frac{1}{2}\int_0^Th_0^2(t)dt).

このとき Y_t(\omega) を F_0 と同様に次のように定める。

Y_t(\omega) = \exp(\int_0^Th_0(s)dB_s(\omega)-\frac{1}{2}\int_0^Th_0^2(s)ds).

このとき Y_t の伊藤公式は、

dY_t=Y_t(h_0(t)dB_t-\frac{1}{2}h_0^2(t)dt)+\frac{1}{2}Y_t(h_0(t)dB_t)^2\\=Y_th_0(t)dB_t.

である。ゆえに

F_0=Y_T=1+\int_0^T Y_sh_0(s)dB_s.

さらに E[F_0]=1 でもある。よってこの F_0 は (4.3.6) を成立させる (4.3.1) の形の関数である。

ところで、任意の F\in L^2(\mathcal{F_t},P) について定理 4.3.2 から (4.3.1) の形の関数列 F_n で近似可能である。そこで、上と同様にして F_n に対応する f_n\in\mathcal{V}(0,T) を用いて、 F_n を以下のようにかける。

F_n(\omega)=E[F_n]+\int_0^Tf_n(s,\omega)dB_s(\omega).

ここで伊藤の等長性から、( n,m\rightarrow\infty で F_n に収束先が存在するので期待値が0になるため)

E[(F_n-F_m)^2]=E\left[(E[F_n-F_m])+\int_0^T(f_n-f_m)dB)^2\right]\\ =(E[F_n-F_m])^2+\int_0^TE[(f_n-f_m)^2]dt\rightarrow 0.

よって \{f_n\} が L^2([0,T\times\Omega]) 上のコーシー列で、ある写像 f\in L^2([0,T]\times\Omega) が存在してそれに収束することがわかった。

ここで、f_n\in\mathcal{V}(0,T) の収束先 f も \mathcal{V}(0,T) に含まれることに注意する。これは f_n(s,\omega) の列も確率1で f(s,\omega) に収束するため、f(t,\cdot) が確率1で \mathcal{F}_t 可測関数になる。さらに f(t,\omega) を確率0の点で調整することで f(t,\omega) を \mathcal{F}_t 適合にすることができる。

伊藤の等長性を再び使って、次を得る。

F=\lim_{n\rightarrow\infty}F_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(E[F_n]+\int_0^Tf_ndB\right)\\ =E[\lim_n F_n]+\int_0^T\lim_nf_ndB\\ =E[F]+\int_0^TfdB.

ゆえに (4.3.6) は任意の F に対して成立することが示された。

一意性を示す。仮に f_1,f_2\in\mathcal{V}(0,T) として以下のように示されたとする。

F(\omega)=E[F]+\int_0^Tf_1(t,\omega)dB_t(\omega)\\ =E[F]+\int_0^Tf_2(t,\omega)dB_t(\omega).

このとき伊藤の等長性から次が成立する。

0=E[(\int_0^Tf_1(t,\omega)-f_2(t,\omega)dB_t(\omega))^2]\\ =E[(\int_0^T(f_1(t,\omega)-f_2(t,\omega))^2dB_t(\omega))].

ゆえに f_1=f_2. □

Remark : f(t,\omega) は F(\omega) の Fr´echet 導関数または Malliavin 導関数として表現される。(See Clark (1970/71),Davis (1980) and Ocone (1984).)

定理 4.3.4 マルチンゲール表現定理 : B(t)=(B_1(t),\cdots,B_n(t)) を n次元ブラウン運動とする。M_t を P に対する \mathcal{F}_t^{(n)} マルチンゲールであるとする。任意の t について M_t\in L^2(P) を満たすとする。このとき一意な確率過程 g(s,\omega) が存在して以下を満たす。

\forall t,g\in\mathcal{V}^{(n)}(0,t).

\forall t\geq 0,M_t(\omega) = E[M_0]+\int_0^tg(s,\omega)dB(s).\quad (a.s.)

証明 : n=1 の場合のみ示す。定理 4.3.3 より、T=t, F=M_t とすると、任意の t について以下を満たす f^{(t)} が一意に存在する。

M_t(\omega)=E[M_t]+\int_0^tf^{(t)}(s,\omega)dB_s(\omega)\\ = E[M_0?]+\int_0^tf^{(t)}(s,\omega)dB_s(\omega).

ここで 0\leq t_1\leq t_2 と定めると

M_{t_1}=E[M_{t_2}\mid\mathcal{F}_{t_1}]\\ =E[M_0]+E[\int_0^{t_2}f^{(t_2)}(s,\omega)dB_s(\omega)\mid \mathcal{F}_{t_1}]\\ =E[M_0]+\int_0^{t_1}f^{(t_2)}(s,\omega)dB_s(\omega).\tag{4.3.7}

一方で t=t_1 とすれば次も成り立つ。

M_{t_1}=E[M_0]+\int_0^{t_1}f^{(t_1)}(s,\omega)dB_s(\omega).\tag{4.3.8}

ここで (4.3.7) と (4.3.8) を見比べると

E[(\int_0^{t_1}f^{(t_2)}-f^{(t_1)}dB)^2]=0.

伊藤の等長性から、次が成り立つ。

E[\int_0^{t_1}(f^{(t_2)}-f^{(t_1)})^2dB]=0.

よって f^{(t_2)}=f^{(t_1)} である。よって、任意の t\in\{t_1,t_2,\cdots\} について、f^{(t)} = f を一つ定めれば

M_t=E[M_0]+\int_0^tf(s,\omega)dB_s(\omega).

と書くことができる。□

5 確率微分方程式

5.1 例と解法

確率微分方程式 X_t(\omega) の話に戻ろう。

\frac{dX_t}{dt}=b(t,\omega)+\sigma(t,X_t)W_t.

このとき、伊藤の方式でいえば

X_t=X_0+\int_0^tb(s,X_s)ds+\int^t_0\sigma(s,X_s)dB_s.

dX_t=b(s,X_s)ds+\sigma(s,X_s)dB_s.\tag{5.1.2}

ということになる。このような方程式に対する

• 解は存在するのか、存在するなら解は一意なのか。
• どのように解けばよいのか。

という疑問について考える。5.1では後者について考えることにする。

伊藤方程式が解法の中核である。例を見てみよう。

Example 5.1.1 : 人口増大モデル

\frac{dN_t}{dt}=a_tN_t.

とする。ここで a_t=r_t+\alpha W_t で、 W_t はホワイトノイズ、\alpha は定数。

このとき、簡単のために r_t=r で定数とする。これは \sigma(t,x)=\alpha x としたときの (5.1.2) と等しい。つまり

dN_t=rN_tdt+\alpha N_tdB_t.\\ \frac{dN_t}{N_t}=rdt+\alpha dB_t.\\ \int_0^t\frac{dN_t}{N_t}=rt+\alpha B_t.\tag{5.1.4}

と変形できる。左辺値の積分を評価するために、以下のように実行する。伊藤方程式を次の g で用いて

g(t,x)=\ln x.

\begin{aligned} d(\ln N_t)&=\frac{1}{N_t}dN_t+\frac{1}{2}\frac{-1}{N_t}(dN_t)^2\\ &=\frac{dN_t}{N_t}-\frac{\alpha^2N_t^2}{2N_t^2}dt\\ &=\frac{dN_t}{N_t}-\frac{\alpha^2}{2}dt. \end{aligned}

(ここで (dN_t)^2=(rN_tdt+\alpha B_t)^2 と dB_t^2=dt および dB_tdt=dt^2=0 を用いた) よって

\frac{dN_t}{N_t}=d(\ln N_t)+\frac{\alpha^2}{2}dt.

これを (5.1.4) に代入して整理すると

\ln \frac{N_t}{N_0}=(r-\frac{1}{2}\alpha^2)t+\alpha B_t.\\ N_t=N_0\exp((r-\frac{1}{2}\alpha^2)t+\alpha B_t).\tag{5.1.5}

ここでは伊藤積分の方法を用いたが、 Stratonovich の方法で計算すると、

\newcommand\ol{\overline}d\ol{N}_t=r\ol{N}_tdt+\alpha\ol{N}_t\circ dB_t.

\overline{N}_t=N_0\exp(rt+\alpha B_t).\tag{5.1.6}

となる。この二つの解はいずれも以下の形式の解である。(\alpha,\mu が定数)

X_t=X_0\exp(\mu t + \alpha B_t).

このような解を持つ過程を 幾何的ブラウン運動(geometric Brownian motion) という。これは経済学で重要である。

備考1

N_t の期待値について考える。N_0 と B_t が独立なら

E[N_t]=E[N_0]\exp(rt).

が成立する。(つまりノイズが存在しない場合と同じ) これを確認しよう。まず Y_t を以下のように定める。

Y_t=\exp(\alpha B_t).

ここで、伊藤方程式を用いて

dY_t=\alpha\exp(\alpha B_t)dB_t+\frac{1}{2}\alpha^2\exp(\alpha B_t)dt.

あるいは積分型

Y_t=Y_0+\alpha\int_0^t\exp(\alpha B_s)dB_s + \frac{1}{2}\alpha^2\int_0^t\exp(\alpha B_s)ds.

となる。一方 E[\int_0^t\exp(\alpha B_s)dB_s]=0 なので(定理 3.2.1 3)

E[Y_t] = E[Y_0]+\frac{1}{2}\alpha^2\int_0^tE[Y_s]ds.

時間について微分すれば (E[Y_0]=1 として)

\frac{dE[Y_t]}{dt}=\frac{1}{2}\alpha^2E[Y_t].

よって

E[Y_t]=\exp(\frac{1}{2}\alpha^2t).

なので (N_t について B_t と N_0 が独立とすると期待値の積で表せるので N_t = N_0\exp(rt-\frac{1}{2}\alpha^2t) Y_t より E[N_t]=E[N_0]\exp(rt-\frac{1}{2}\alpha^2t) E[Y_t] から)

E[N_t]=E[N_0]\exp(rt).

である。よって示された。Stratonovich の場合は

E[\overline{N}_t]=E[N_0]\exp(r+\frac{1}{2}\alpha^2)t.

である。

備考2

(5.1.5) や (5.1.6) の結果から、収束の判定ができる。

1. r\gt \frac{\alpha^2}{2} ならば確率1で t\rightarrow\infty で N_t\rightarrow\infty.
2. r\lt\frac{\alpha^2}{2} ならば 確率1で t\rightarrow\infty で N_t\rightarrow 0.
3. r=\frac{\alpha^2}{2} ならば確率1で t\rightarrow\infty で極大と極小の間で振動する。

これを求めるには、以下の定理を用いた。

定理 5.1.2 反復対数の法則:

\lim\sup_{t\rightarrow\infty}\frac{B_t}{\sqrt{2t\log\log t}}=1\quad a.s.

証明は Lamperti (1977), §22.

Stratonovich の場合は以下のようになる。

1. r\lt 0 のとき \overline{N}_t\rightarrow 0.
2. r\gt 0 のとき \overline{N}_t\rightarrow\infty.

このように、二つの解は基本的に異なるものであり、どちらの方がより優れているかという観点は重要である。

Example 5.1.3

LQ''_t+RQ'_t+\frac{Q_t}{C}=F_t=G_t+\alpha W_t.\tag{5.1.7}

という問題を考える。今以下のようなベクトルを考える。

X=X(t,\omega)= \begin{pmatrix} X_1\\ X_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} Q_t\\ Q_t' \end{pmatrix}

このベクトルは以下を見たす。

\begin{cases} X'_1=X_2\\ LX_2'=-RX_2-\frac{1}{C}X_1+G_t+\alpha W_t \end{cases}\tag{5.1.8}

あるいは、これは以下のようにあらわされる。

dX=dX(t)=AX(t)dt+H(t)dt+KdB_t.\tag{5.1.9}

A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{-1}{CL} & \frac{-R}{L} \end{pmatrix}.

H(t)=\begin{pmatrix} 0\\\frac{G_t}{L} \end{pmatrix}.

K=\begin{pmatrix} 0\\\frac{\alpha}{L} \end{pmatrix}.

B_t は一次元ブラウン運動。(5.1.9) を次のように書き換える。

\exp(-At)dX(t)-\exp(-At)AX(t)dt\\=\exp(-At)[H(t)dt+KdB_t].\tag{5.1.11}

ここで \exp(F)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{n!}F^n.

つぎに d(\exp(-At)X(t)) について考える。以下のような関数 g:[0,\infty)\times\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2 を想定した多次元伊藤公式を用いる。

g(t,x_1,x_2)=\exp(-At)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}.

d(\exp(-At)X(t))=-A\exp(-At)X(t)dt+\exp(-At)dX(t).

上式の右辺と、(5.1.11) の左辺が等しいので、以下のように代入して部分積分できる。

\exp(-At)X(t)-X(0)=\int_0^t\exp(-As)H(s)ds+\int^t_0\exp(-As)KdB_s.

あるいは、以下のような形になる。

X(t)=\exp(-At)[X(0)+\int_0^t\exp(-As)H(s)ds+\int^t_0\exp(-As)KdB_s].

Example 5.1.4

X_t=B_t を一次元ブラウン運動とする。

g(t,x)=\exp(ix)=(\cos x,\sin x)\in\mathbb{R}^2.

を考える。

Y(t)=g(t,X_t)=\exp(iB_t)=(\cos B_t,\sin B_t).

ここで

\begin{cases} dY_1(t)=-\sin(B_t)dB_t-\frac{1}{2}\cos(B_t)dt,\\ dY_2(t)=\cos(B_tdB_t)-\frac{1}{2}\sin(B_t)dt. \end{cases}

とおくと、 Y=(Y_1,Y_2) となる。これを 単位円上のブラウン運動 という。これは以下のような微分方程式の解である。

\begin{cases} dY_1=-\frac{1}{2}Y_1dt-Y_2dB_t,\\ dY_2=-\frac{1}{2}Y_2dt+Y_1dB_t. \end{cases}

あるいは行列表記で

dY(t)=-\frac{1}{2}Y(t)dt+KY(t)dB_t.

K=\begin{pmatrix} 0 & -1\\1 & 0 \end{pmatrix}.

その他の例は例題にある。

5.2 解の存在と一意性

前者の問題にとりかかろう．つまり、解の存在と一意性の疑問である．

定理 5.2.1 確率微分方程式の解の一意存在定理 : T\gt 0 とする． b:[0,T]\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n と \sigma:[0,T]\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^{n\times m} を以下を満たす可測関数とする．

\exists C\in\mathbb{R},\forall t\in[0,T],\forall x\in\mathbb{R}^n,\\|b(t,x)|+|\sigma(t,x)|\lt C(1+|x|).\tag{5.2.1}

\exists D\in\mathbb{R},\forall x,y\in\mathbb{R}^n,\forall t\in[0,T],\\|b(t,x)-b(t,y)|+|\sigma(t,x)-\sigma(t,y)|\\\leq D|x-y|.\tag{5.2.2}

Z を ブラウン運動 B_s から生成された \sigma 代数 \mathcal{F}^{(m)}_\infty 上の (B_tと?) 独立な確率変数とする．Z は次を満たすとする．

E[|Z|^2]\lt\infty.

このとき、次の確率微分方程式

dX_t=b(t,X_t)dt+\sigma(t,X_t)dB_t,\tag{5.2.3}

は以下を満たすような一意な t 連続な解 X_t(\omega) を持つ．

X_t(\omega) は Z と B_s から生成されたフィルトレーション \mathcal{F}^Z_t に適合しており，以下を満たす．

E[\int_0^T|X_t|^2dt]\lt \infty.

備考

条件 (5.2.1)(5.2.2) は以下の二つの決定的微分方程式の例の観点から自然な条件であるといえる．

1. 方程式
   

   \frac{dX_t}{dt}=X_t^2, X_0=1.
   
   は 上の定理で b(x)=x^2 ， \sigma(x)=0 とした場合に相当する．これは条件 (5.1.2) を成立させないが， t\in[0,1) の内部では次の一意な解を持つ．
   
   X_t=\frac{1}{1-t}.
   
   しかし，t\notin [0,1) でも成立するような解は不明である．より一般的にいえば条件 (5.1.1) は (5.2.3) の解 X_t(\omega) が発散しない条件である．

2. X_0=0 として方程式
   

   \frac{dX_t}{dt}=3X_t^{2/3}
   
   を考える．これはいくつかの解が存在する．例えば，a\gt 0 について
   X_t=\begin{cases} 0 &(t\leq a)\\ (t-a)^3 &(t\gt a) \end{cases}

   は上式を満たす解である．この場合は b(x)=3x^{2/3} とみなした場合であり，条件 (5.2.2) = Lipschitz 条件を x=0 で満たさない．より一般的にいえば，(5.2.2) は (5.2.3) の解が a.s. で一意であるための条件である．

定理 5.2.1 の証明 : 一意性は伊藤の等長性と Lipschitz 性から成立する．つまり， X_1(t,\omega)=X_t(\omega) とし， X_2(t,\omega)=\hat{X}_t(\omega) とし，初期値を X_1(0,\omega)=Z(\omega) と X_2(0,\omega)=\hat{Z}(\omega) とする．この時は Z=\hat{Z} とする．

a(s,\omega) = b(s,X_s)-b(s,\hat{X}_s) と \gamma(s,\omega)=\sigma(s,X_s)-\sigma(s,\hat{X}_s) とする．このときシュワルツの不等式 ( (\int_0^tads)^2\leq(\int_0^t1^2ds)(\int_0^ta^2ds)=t\int_0^ta^2ds ) および (5.2.2) ( \frac{t}{1+t}a + \frac{1}{1+t}\gamma\leq D|X-\hat{X}| ) より

E[|X_t-\hat{X}_t|^2]=E[(Z-\hat{Z}+\int_0^tads+\int_0^t\gamma dB_s)^2]\\ \leq 3E[|Z-\hat{Z}|^2]+3E[(\int_0^tads)^2]+3E[(\int_0^t\gamma dB_s)^2]\\ \leq 3E[|Z-\hat{Z}|^2]+3tE[\int_0^ta^2ds]+3E[\int_0^t\gamma^2 dB_s]\\ \leq 3E[|Z-\hat{Z}|^2]+3(1+t)D^2E[|X_s-\hat{X}_s|^2]ds.

より関数 v(t) = E[|X_t-\hat{X}_t|^2] は以下を満たす．

\forall t\in[0,T],v(t)\leq F+A\int_0^tv(s)ds.

F=3E[|Z-\hat{Z}|^2].

A=3(1+T)D^2.

さらに練習問題5.17 の Gronwall 不等式より

v(t)\leq F\exp(At).

が成立する．ここで Z=\hat{Z} なので，F=0 かつ \forall t\geq 0,v(t)=0 になるので，

0=v(t)=E[|X_t-\hat{X}_t|^2]\\ =\int_\Omega |X_t(\omega)-\hat{X}_t(\omega)|^2dP.

より

\forall t,|X_t-\hat{X}_t|=0.\quad a.s.

を満たす．この t は |X_t-\hat{X}_t| が \omega について ( X_t がボレル可測関数ならば) 連続であるので \Omega 全体に対しても

\forall \omega,t,X_1(t,\omega)=X_2(t,\omega).

よって一意である．

存在を示す．これは通常の微分方程式のそれと近い．Y_t^{(0)} = X_0，Y_t^{(k)}=Y_t^{(k)}(\omega) とする．このとき Y^{(k+1)}_t について次が成立するとする．

Y_t^{(k+1)}=X_0+\int_0^tb(s,Y_s^{(k)})ds+\int_0^t\sigma(s,Y^{(k)}_s)dB_s.\tag{5.2.12}

E[|Y_t^{(1)}-Y_t^{(0)}|^2]\\ = E[|\int_0^t b(s,X_0)ds+\int_0^t\sigma(s,X_0)dB_s|^2]\\ \leq 2E[|\int_0^tb(s,X_0)ds|^2]+2E[|\int_0^t\sigma(s,X_0)dB_s|^2]\\\\ \leq 2E[\int_0^ttb(s,X_0)^2+\sigma(s,X_0)^2ds]\\ \leq 2C^2(1+t)E[(1+|X_0|)^2]\\ \leq 2C^2T_0^2E[(1+|X_0|)^2]+2C^2T_0(1+E[|X_0|^2]).

ここで T_0 は T_0\geq 1 と T_0\geq t を満たす適当な数．さらに C と T と E[|X_0|] の値に応じてある A_1 が存在して

2C^2T_0^2E[(1+|X_0|)^2]+2C^2T_0(1+E[|X_0|^2])\leq A_1 T_0.

一意性の証明と同様にすると，k\geq 1, t\leq T に対して次を示すことができる．

E[|Y_t^{(k+1)}-Y_t^{(k)}|^2]\leq (1+T)3D^2\int_0^tE[|Y_s^{(k)}-Y_s^{(k-1)}|^2]ds.

ここで k=0 の時と同様に k=1,2\cdots の場合についても似たような以下のような式が示せる．ここで A_2 は C,D,E[|X_0|^2] による値．

E[|Y_t^{(k+1)}-Y_t^{(k)}|^2]\leq \frac{A_2^{k+1}T_0^{k+1}}{(k+1)!}.

このとき， m\gt n\geq 0 に対して m,n\rightarrow\infty で次が成立する．( ここで \|\cdot\| はL^2(\lambda\times P) でのノルム )

\|Y_t^{(m)}-Y_t^{(n)}\|=\|\sum_{k=n}^{m-1}(Y_t^{(k+1)}-Y_t^{(k)})\|\\ \leq \sum_{k=n}^{m-1}\|Y_t^{(k+1)}-Y_t^{(k)}\|=\sum_{k=n}^{m-1}(E[\int_0^T|Y_t^{(k+1)}-Y_t^{(k)}|^2dt])^{1/2}\\ \leq \sum_{k=n}^{m-1}(\int_0^T\frac{A_2^{k+1}T_0^{k+1}}{(k+1)!}dt)^{1/2}=\sum_{k=n}^{m-1}(\frac{A_2^{k+1}T_0^{k+1}T}{(k+1)!})^{1/2}\rightarrow 0.

よって \{Y_t^{(n)}\} は n についてコーシー列であることがわかったので L^2(\lambda\times P) 内で収束してその収束先を X_t とする．

X_t = \lim_{n\rightarrow\infty}Y_t^{(n)}.

すると，任意の Y_t^{(n)} が \mathcal{F}_t^Z 可測なので X_t は \mathcal{F}_t^Z 可測である．次に X_t が(5.2.3) を満たすこと，つまり求めたい確率微分方程式の解であることを示す．

任意の n と t\in[0,T] について Y_t^{(n+1)} は以下を満たすと定義した．

Y_t^{(n+1)}=X_0+\int_0^tb(s,Y_s^{(n)})ds+\int_0^t\sigma(s,Y_s^{(n)})dB_s.

ここで n\rightarrow\infty で (伊藤の等長性から積分が連続になるので)

\int_0^tb(s,Y^{(n)}_t)ds\rightarrow\int_0^tb(s,X_t)ds.

\int_0^t\sigma(s,Y_t^{(n)})dB_s\rightarrow \int_0^t\sigma(s,X_t)dB_s.

が成立するので，

X_t=X_0+\int_0^tb(s,X_s)ds+\int_0^t\sigma(s,X_s)dB_s.\quad a.s.

となり，(5.2.3) を満たす．最後に， X_t が t について連続なversion を持つことを確認する．定理 3.2.5 から X_t には t 連続な version が存在する．□