解決方法まとめ

1. a^c-2\times(a-1)^c=0 となる (正答数 a, 子の人数 c) の組を設定する。鬼の人数 d は何人でもよい
   \iff 子の人数 c が固定なら、a=\displaystyle\frac{\sqrt[c]{2}}{\sqrt[c]{2}-1} 個の答えがある多答クイズを用意する
2. 子の得点 p: 鬼の得点 q = (a^c-(a-1)^c):(a-1)^c と設定する

動画の設定ではどうすればよかったか

1. a=\displaystyle\frac{\sqrt[7]{2}}{\sqrt[7]{2}-1}\simeq 10.6 個の答えがある多答クイズを用意する
2. 子:鬼の得点比を、a=134 の地図記号では約 1:18.6 に、a=28 の特定原材料では約 1:3.45 に、a=33 の中南米の国では約 1:4.16 に設定する

はじめに

クイズかくれんぼとは

• 動画参照↓

https://youtu.be/wvw27-wA3Lc

課題

• 動画中でも発言の通り、子・鬼の人数比とクイズの正解数のバランスが難しい

解決方法（いずれか）

1. このルールでの最適な多答クイズの正答数を考える
2. 子と鬼の得点数を 1:1 ではなくする

このために、ひとまず全探索のコードを書いた。

が、自分の環境だと、動画中に登場した内最小の 28 ですら探索に半年かかりそうなので、数学的にアプローチする。

• 地図記号：134
• 特定原材料・準するもの：28
• 中南米の国：33

解法の道筋

コード中にも記載したが、変数は次の通りとする。

a : 多答クイズの正解数
c : 子の人数
d : 鬼の人数
p : 子の得点
q : 鬼の得点
pnt_c : 子全員の全通りでの合計得点
pnt_d : 鬼全員の全通りでの合計得点

参加者 1 人 1 人の得点のしやすさは、子では pnt_c/c で、鬼では pnt_d/d である。
そのため、解決方法は次と同値。

1. pnt_c/c = pnt_d/d となる (a, c, d) の組を探す
2. p:q = pnt_d/d:pnt_c/c とする

故に、所与の変数 a, c, d における (pnt_c/c)/(pnt_d/d) が分かればよい（p=1, q=1 で考える）。

とりあえず計算 1

(a, c, d) すべて 10 未満で計算してみたところ、どうやら (pnt_c/c)/(pnt_d/d) に d は無関係のよう。
実際にはもっと計算したが、以下抜粋。

とりあえず計算 2

d = 1 固定だと次の計算結果。

d = 1 における規則性を探る

それぞれの a で、pnt_c/c と pnt_d/d に規則性がありそうなので オンライン整数列大辞典 で検索してみる。

pnt_c/c

• a=2 : 2,2,2,2,2,2,2,2,2
• a=3 : 6,12,24,48,96,192,384,768,1536
• a=4 : 12,36,108,324,972,2916,8748,26244,78732
• a=5 : 20,80,320,1280,5120,20480,81920,327680,1310720
• a=6 : 30,150,750,3750,18750,93750,468750,2343750,11718750
• a=7 : 42,252,1512,9072,54432,326592,1959552,11757312,70543872
• a=8 : 56,392,2744,19208,134456,941192,6588344,46118408,322828856
• a=9 : 72,576,4608,36864,294912,2359296,18874368,150994944,1207959552

整理すると、pnt_c/c = a\times(a-1)^c になりそう。

pnt_d/d

• a=2 : 2,6,14,30,62,126,254,510,1022
• a=3 : 3,15,57,195,633,1995,6177,18915,57513
• a=4 : 4,28,148,700,3124,13468,56788,235900,969844
• a=5 : 5,45,305,1845,10505,57645,308705,1625445,8454905
• a=6 : 6,66,546,4026,27906,186186,1210866,7733946,48747426
• a=7 : 7,91,889,7735,63217,496951,3805249,28596295,211931377
• a=8 : 8,120,1352,13560,127688,1155960,10188872,88099320,750912968
• a=9 : 9,153,1953,22185,236529,2423673,24172353,236425545,2278824849

検索してもあまりヒットしなかった。
出てきた情報で整理すると、pnt_d/d=a\times(a^c-(a-1)^c) になりそう。

一般解を求める

全探索の結果から考えると、次の様になりそう。
pnt_c=a\times c\times (a-1)^c\times(a-1)^{d-1}\times p
pnt_d=a\times d\times(a^c-(a-1)^c)\times(a-1)^{d-1}\times q