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例の積分

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\frac{df}{dt} = \left< \nabla f , \frac{dx}{dt} \right>

ここでx(t)=tx+(1-t)yの経路で積分するから

\frac{dx}{dt}=x-y

である。よって

\begin{aligned} \int _ 0 ^ 1 \frac{d}{dt}f \bigl( tx - (1-t)y \bigr) dt &= \int _ 0 ^ 1 \left< \nabla f \bigl( tx - (1-t)y \bigr) , \frac{dx}{dt} \right> dt \\ f(x) - f(y) &= \int _ 0 ^ 1 \left< \nabla f \bigl( tx - (1-t)y \bigr), x - y \right> dt \end{aligned}

となる。

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