例の積分

$$\frac{df}{dt} = \left< \nabla f , \frac{dx}{dt} \right>$$

ここで$x(t)=tx+(1-t)y$の経路で積分するから

$$\frac{dx}{dt}=x-y$$

である。よって

$$\begin{aligned} \int _ 0 ^ 1 \frac{d}{dt}f \bigl( tx - (1-t)y \bigr) dt &= \int _ 0 ^ 1 \left< \nabla f \bigl( tx - (1-t)y \bigr) , \frac{dx}{dt} \right> dt \\ f(x) - f(y) &= \int _ 0 ^ 1 \left< \nabla f \bigl( tx - (1-t)y \bigr), x - y \right> dt \end{aligned}$$

となる。